Масштабный коэффициент (космология)

Космологический масштабный коэффициент — параметр уравнения Фридмана, что является показателем изменения расстояния между галактиками в результате расширения (или сжатия) Вселенной. Космологический масштабный коэффициент обозначается обычно буквой $a$, зависит от времени, а его логарифмическая производная по времени равна постоянной Хаббла:

$H={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}$.

Обычно космологический масштабный коэффициент выбирают безразмерным, его настоящее значение $a(t_{0})=1$, где $t_{0}$ — возраст Вселенной, начиная от Большого взрыва. Его можно также выбрать соразмерным с размерностью длины.

Масштабный коэффициент входит в метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Вокера

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}/a^{2}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$.

Эту метрику можно получить из следующих соображений (для k = 1): пусть однородно заполненное веществом пространство является сферой в четырёхмерном гиперпространстве с координатами $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},$. Уравнение гиперсферы:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}$.

Исключая с помощью этого уравнения $x_{4}$, выражение для элемента длины в сферической системе координат будет иметь вид:

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-r^{2}/a^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$,

что и даёт приведённую выше метрику. Согласно этим уравнениям коэффициент $a$ можно интерпретировать как кривизну трёхмерного пространства.

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля.. — Наука., 1974.