Вселенная Фридмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Космология
Ilc 9yr moll4096.png
Изучаемые объекты и процессы
Наблюдаемые процессы
Теоретические изыскания

Вселе́нная Фри́дмана (метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

История открытия[править | править исходный текст]

Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922[1] и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной)[2]. Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.

Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.

Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»[3].

Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года[4]. В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния - сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях закон Хаббла нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия тёмной энергии, известные свойства которой соответствуют Λ-члену.

Современная модель, так называемая "модель ΛCDM", по прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и темной материи.

Метрика Фридмана-Робертсона-Уокера[править | править исходный текст]

Вид символов Кристоффеля
 \begin{array}{ccc}
\Gamma_{ij}^0 = a\dot a \tilde{g}_{ij} & \Gamma_{0j}^i = \frac{\dot a}{a}\delta_{ij} & \Gamma^i_{jl} = \tilde{\Gamma}^i_{jl} = k\tilde{g}_{jl}x^i
\end{array}
Производные выражения от символов Кристоффеля
 \begin{array}{ccc}
\frac{\partial \Gamma_{ij}^0 }{\partial t} = \tilde{g}_{ij} \frac{d}{dt}(\dot a a), & \Gamma_{ik}^0\Gamma_{j0}^k = \tilde{g}_{ij}\dot{a}^2, & \Gamma_{ij}^0\Gamma_{0l}^l =  3\tilde{g}_{ij}\dot{a}^2, \\
\frac{\partial \Gamma_{i0}^i }{\partial t} = 3 \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot a}{a}\right) , & \Gamma_{0j}^i\Gamma_{i0}^j = 3\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2
\end{array}

Геометрия однородной изотропной Вселенной - это геометрия однородного и изотропного трехмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана-Робетсона-Уокера(FWT)[5]:

 ds^2 = cdt^2 - a(t) \left( dr^2 + k \frac{(rdr)^2}{1-kr^2}\right) ,

где k принимает значение:

  • k=0 для трехмерной плоскости
  • k=1 для трехмерной сферы
  • k=-1 для трехмерной гиперсферы

c - скорость света, а r - трехмерный радиус-вектор в евклидовом пространстве: r = \begin{Bmatrix}x_1, & x_2,& x_3\end{Bmatrix}.

Или в тензорной записи:

ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu, где компоненты метрического тензора равны:
 \begin{array}{ccc} g_{ij} = a^2(t)\left(\delta_{ij} + k \frac{x^i x^j}{1-kr^2}\right), & g_{i0} = 0, &g_{00} = -1 \end{array} ,

где i, j пробегают значения 1...3, r^2 = (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2, а x^0 — временная координата.

Основные уравнения[править | править исходный текст]

Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:

  • Уравнение энергии
 \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G\rho}{3}-\left(\frac{kc^2}{a^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}
  • Уравнение движения
\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho +\frac{3P}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}
  • Уравнение неразрывности
\frac{d\rho}{dt} =-3H\left(\rho +\frac{P}{c^2}\right)

где Λ — космологическая постоянная, ρ — средняя плотность Вселенной, P — давление, с — скорость света.

Приведенная система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений.[5]

Объяснение закона Хаббла[править | править исходный текст]

Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии r1 от наблюдателя. Приемная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала между точками с одной и той же фазой[5]:

 \frac{\delta t_1}{\delta t_0} =\frac{\nu_0}{\nu_1} \equiv 1+z

С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:

 dt = \pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}

Проинтегрировав это уравнение получим:

 \int\limits_{t_0}^{t_1}  \frac{dt}{a(t)} = \int\limits_0^{r_c} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}

Учитывая что в сопутствующих координатах r не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:

 \frac{\delta t_1}{a(t_1)} =\frac{\delta t_0}{a(t_0)}

Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:

 1+z = \frac{a(t_0)}{a(t_1)}

Разложим a(t) в ряд Тейлора с центром в точке a(t1) и учтем члены только первого порядка:

a(t) = a(t_1)+\dot a (t_1)(t-t_1)

После приведения членов и домножения на c:

 cz = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)} c(t - t_1) = HD

Соответственно, константа Хаббла:

 H = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)}

Виды решений[править | править исходный текст]

ΛCDM[править | править исходный текст]

Дальнейшая эволюция расширения[править | править исходный текст]

Дальнейший ход расширения в общем случае зависит от значений космологической постоянной Λ, кривизны пространства k и уравнения состояния P(ρ). Однако качественно эволюцию расширения можно оценить, опираясь на достаточно общие предположения.[5]

Λ < 0[править | править исходный текст]

Если значение космологической постоянной отрицательно, то действуют только силы притяжения и более никаких. Правая часть уравнения энергии будет неотрицательной только при конечных значениях R. Это означает, что при некотором значении Rc Вселенная начнет сжиматься при любом значении k и вне зависимости от вида уравнения состояния[8].

Λ = 0[править | править исходный текст]

В случае, если космологическая постоянная равна нулю, то эволюция при заданном значении H0 целиком и полностью зависит от начальной плотности вещества[5]:

\left(\frac{da}{dt}\right)^2=G\frac{8\pi\rho_0 a_0^3}{3a} -a_0^2H_0\left(\rho_0 - \frac{3H_0^2}{8\pi G}\right).

Если \rho_0 =\rho_{cr} , то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.

Λ > 0[править | править исходный текст]

Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт[8]:

R\propto exp[(\Lambda/3)^{1/2}t].

При k=1 выделенным значением является \Lambda_c=4\pi G\rho. В этом случае существует такое значение R, при котором R'=0 и R''=0, то есть Вселенная статична.

При Λ>Λc скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λc, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.

В случае Λ<Λc всё зависит от начального значения R, с которого началось расширения. В зависимости от этого значения Вселенная либо будет расширяться до какого-то размера, а потом сожмется, либо будет неограниченно расширяться.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes (О кривизне пространства), Z. Phys. 10 (1922) 377—386.
  2. Friedmann, A: Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes (О возможности Вселенной с постоянной отрицательной кривизной пространства), Z. Phys. 21 (1924) 326—332.
  3. Фок В.А. (1963). «Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна». УФН LXXX (3): 353–356. Проверено 2012-07-04.
  4. О непопулярности моделей с космологической постоянной красноречиво говорит тот факт, что Вайнберг в своей книге «Космология и гравитация» (на русском языке издана в 1975 году) параграф о моделях с космологической постоянной относит в раздел вместе с наивными моделями и моделями стационарной Вселенной, отводя на описание 4 страницы из 675.
  5. 1 2 3 4 5
    • А.В. Засов.,К.А. Постнов. Общая Астрофизика. — Фрязино: Век 2, 2006. — С. 421-432. — 496 с. — ISBN 5-85099-169-7
    • Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 45-80. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4
    • Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 21-81. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1
  6. Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 57-59. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1
  7. Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 63. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4
  8. 1 2 Майкл Роуэн-Робинсон. Космология = Cosmology / Перевод с английского Н.А. Зубченко. Под научной редакцией П.К. Силаева. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — С. 96-102. — 256 с. — ISBN 976-5-93972-659-7