Уравнение Фридмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Космология
Ilc 9yr moll4096.png
Изучаемые объекты и процессы
История Вселенной
Наблюдаемые процессы
Теоретические изыскания

В космологии, Уравнение Фридмана — это уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной (вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году[1].

Уравнение Фридмана[править | править вики-текст]

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)[2],

где  — элемент длины в пространстве постоянной кривизны,  — масштаб (“размер”) вселенной.

Геометрически, пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координаты[править | править вики-текст]

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства[править | править вики-текст]

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

где фотометрическое расстояние, ; – сферические углы; – масштабированное время, .

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

где штрих означает дифференцирование по .

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

где плотность энергии, —давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна .

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

Если связь плотности энергии и давления (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной , используя уравнение сохранения энергии

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства[править | править вики-текст]

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

где , ; – сферические углы; – масштабированное время, .

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой .

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная[править | править вики-текст]

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

где , ; – сферические углы; – масштабированное время, .

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе .

Замечая, что , где , уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

Приведённые радиальные координаты[править | править вики-текст]

В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

где — сферические угловые координаты;

является приведённой радиальной координатой, определяемой следующим образом: длина окружности радиуса с центром в начале координат равна
является константой, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

Решения уравнения Фридмана[править | править вики-текст]

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Friedman, A (1922). «Über die Krümmung des Raumes» (de). Z. Phys. 10 (1): 377–386. DOI:10.1007/BF01332580. Bibcode1922ZPhy...10..377F. (English translation: Friedman, A (1999). «On the Curvature of Space». General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. DOI:10.1023/A:1026751225741. Bibcode1999GReGr..31.1991F.). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the Ehrenfest archive.
  2. Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002