Модуль автоморфизма

Модуль автоморфизма — вещественное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму, локально компактной группы.

Если $G$ — такая группа и $A$ — некоторый автоморфизм группы $G$ как топологической группы, то модуль автоморфизма а определяется формулой

$mod(A)=\mu A(S)/\mu S$?, где $\mu$ — левоинвариантная мера Хаара на группе $G$ и $S$ — любое компактное подмножество группы $G$ положительной меры (причем $mod(A)$ не зависит от выбора $S$).

Если $G$ компактна или дискретна, то всегда $mod(A)=1$, так как для компактной группы можно положить $S=G$, а для дискретной $S=a$, где $a$ — любой элемент $G$.

Если $A$ и $A'$ — два автоморфизма группы G, то

$mod(A\circ A)=mod(A)mod(A').$

Если $\Gamma$ — некоторая топологическая группа, которая непрерывно действует на группе $G$ автоморфизмами, то $mod$ определяет непрерывный гомоморфизм $mod:\Gamma \to \mathbb {R} _{+}$ где $\mathbb {R} _{+}$ — мультипликативная группа вещественных положительных чисел.

В частности, сопоставляя каждому элементу $a\in G$ порождаемый им внутренний автоморфизм группы $G$ и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм $G$ в группу $\mathbb {R} _{+}$. Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе $G$ является одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, называются унимодулярными.

Литература

• James E. Humphreys Arithmetic Groups, Lecture Notes in Mathematics 789, Springer Verlag 1980, p. 2.