Тонкая структура

Не следует путать со сверхтонкой структурой.

Интерференционная картина, полученная в интерферометре Фабри — Перо от источника света в виде сильно охлаждённого дейтерия и демонстрирующая тонкое расщепление линий.

Тонкая структура (мультиплетное расщепление) — явление в атомной физике, описывающее расщепление спектральных линий (уровней энергии, спектральных терм) атома.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправки

В классической теории кинетический член гамильтониана: $T={\frac {p^{2}}{2m}}$

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, $T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

$T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\dots$

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна $H'=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}$

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

$E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

где $\psi ^{0}$ — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

$H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$

$\left({\frac {p^{2}}{2m}}+U\right)\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$

$p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-U)\vert \psi ^{0}\rangle$

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )$

Для атома водорода, $U={\frac {e^{2}}{r}}$, $\langle U\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}$ и $\langle U^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$ где $a_{0}$ — боровский радиус, $n$ — главное квантовое число и $l$ — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)$

Связь спин-орбита

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, ${\vec {B}}$ и ${\vec {\mu }}_{s}$ сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида $\Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}$

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар вблизи электрона приводит к тому, что локализация электрона в атоме в области, меньшей его комптоновской длины волны $\Delta x={\frac {\hbar }{mc}}$ невозможна и в результате возникает квадратичная флуктуация положения электрона $\Delta x^{2}$. В результате внутри ядра потенциальная энергия электрона изменяется. Сдвиг энергии составляет: $\Delta E_{ep}=m(Z\alpha )^{4}$, где $m$ — масса электрона, $Z$ — эффективный заряд ядра, $\alpha$ — постоянная тонкой структуры.

См. также

• Сверхтонкая структура
• Постоянная тонкой структуры
• Лэмбовский сдвиг
• Мультиплет
• Спектральный терм

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (англ.). — Addison-Wesley, 2002.

Ссылки

• Hyperphysics: Fine Structure