Арифметическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел , и принимающая значения во множестве комплексных чисел .

Определение[править | править вики-текст]

Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

Операции и связанные понятия[править | править вики-текст]

  • Суммой арифметической функции называют функцию , определённую как

Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

  • Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
  • Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле

При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

  • Поточечное умножение на логарифм,

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,

Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.

Известные арифметические функции[править | править вики-текст]

Число делителей[править | править вики-текст]

Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа :

Если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна:

Если  — каноническое разложение натурального , то в силу мультипликативности

Так как положительными делителями числа являются чисел , то

Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как [1]. Более точно — см. формулу Дирихле.

Сумма делителей[править | править вики-текст]

Функция определяется как сумма делителей натурального числа :

Обобщая функции и для произвольного, вообще говоря комплексного, можно определить  — сумму -х степеней положительных делителей натурального числа :

Используя нотацию Айверсона можно записать

Функция мультипликативна:

Если  — каноническое разложение натурального , то

Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть [1].

Функция Эйлера[править | править вики-текст]

Функция Эйлера , или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих , которые взаимно просты с .

Пользуясь нотацией Айверсона можно записать:

Функция Эйлера мультипликативна:

В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:

где  — различные простые делители .

Функция Мёбиуса[править | править вики-текст]

Функцию Мёбиуса можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:

То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа равна нулю, если , и равна , если .

Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:

Здесь  — различные простые числа,  — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса равна , если не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей ).

Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.