Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях), определяет верхнюю границу объёма тела в $n$-мерном евклидовом пространстве, заданного $n$ векторами. Названо в честь Жака Адамара.

Формулировка

Пусть $v_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$, а $M$ — матрица, столбцами которой являются векторы $v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$. Тогда

$|\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},$

где ${||\cdot ||}_{2}$ — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём $n$-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица $A$ размерности $n\times n$ положительно определённая, то

$|A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.$

Доказательство леммы

Определитель $|A|$ можно представить в виде

$|A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.$

Так как $A$ положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным $a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}$, каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

$|A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.$

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида $A=MM^{T}$.

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из $\{+1,\;-1\}$, для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен $n^{\frac {n}{2}}$. Из таких матриц получают коды Адамара.

См. также

• Граница Плоткина

Литература

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.