Положительно определённая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Формулировки[править | править вики-текст]

Пусть будет эрмитовой матрицей размерности . Обозначим транспонированный вектор посредством , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством .

Матрица является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1. Для всех ненулевых комплексных векторов ,

Отметим, что величина всегда вещественна, поскольку  — эрмитова матрица.

2. Все собственные значения , , положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица , переведённая в другую систему координат (то есть , где  — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы , образующие базис). По этому определению  — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали (или, другими словами, собственные значения ) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов , действие на вектор равносильно покомпонентному умножению на положительный вектор.
3. Полуторалинейная форма

определяет скалярное произведение в . Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.

4.  — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов

для какого-то . Другими словами, элементы определены следующим образом

Таким образом, , где инъективная, но не обязательно квадратная матрица.

5. Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра).

В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство может быть заменено на , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы[править | править вики-текст]

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть будет полем вещественных () или комплексных () чисел, а будет векторным пространством над . Эрмитова форма

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным , будет . Такая функция называется положительно определённой, когда для любого ненулевого .

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы[править | править вики-текст]

Эрмитова матрица размерности будет называться отрицательно определённой, если

для всех ненулевых (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых ).

будет называться положительно полуопределённой, если

для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).

будет называться отрицательно полуопределённой, если

для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы выполняется следующее:  — положительно полуопределённая, а . Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица может быть выражена как (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства[править | править вики-текст]

Введём обозначение для положительно полуопределённых матриц и  — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц будем писать , если , то есть положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка .

1.

Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если , то .

2. Если  — положительно определённая матрица и , то положительно определённая матрица.

Если и  — положительно определённые матрицы, то произведения и тоже положительно определённые. Если , то тоже положительно определённая.

3. Если  — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали положительны. Следовательно, . Более того,
.
4.  — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая такая, что . Обозначим . Такая матрица единственна при условии, что . Если , то .
5. Если и  — положительно определённые матрицы, то (где обозначает произведение Кронекера).
6. Если и  — положительно определённые матрицы, то (где обозначает произведение Адамара). Когда вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма):

.

7. Если  — положительно определённая матрица, а  — эрмитова матрица и , то .
8. Если и  — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то .
9. Если  — положительно определённая вещественная матрица, то существует число такое, что , где  — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы[править | править вики-текст]

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству для всех ненулевых вещественных векторов . Такой, к примеру, является матрица

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов

Обобщая, для всех ненулевых вещественных векторов тогда и только тогда, когда симметрическая часть положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства . Если для всех ненулевых комплексных векторов , тогда матрица эрмитова. То есть если , то эрмитова. С другой стороны, для всех ненулевых комплексных векторов тогда и только тогда, когда эрмитова часть положительно определённая.

Литература[править | править вики-текст]

  • R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
  • R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.

См. также[править | править вики-текст]