Положительно определённая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Формулировки[править | править исходный текст]

Пусть M будет эрмитовой матрицей размерности n \times n. Обозначим транспонированный вектор a посредством a^{T}, а сопряжённый транспонированный вектор — посредством a^{*}.

Матрица M является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1. Для всех ненулевых комплексных векторов z \in \mathbb{C}^n,
\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0.

Отметим, что величина z^{*} M z всегда вещественна, поскольку M — эрмитова матрица.

2. Все собственные значения M, \lambda_i, i = 1, 2, \dots, n, положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица D, переведённая в другую систему координат (то есть M = P^{-1}DP , где P — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы M, образующие базис). По этому определению M — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали D (или, другими словами, собственные значения M) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов M, действие M на вектор z \in \mathbb{C}^n равносильно покомпонентному умножению z на положительный вектор.
3. Полуторалинейная форма
\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}

определяет скалярное произведение в \mathbb{C}^n. Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в \mathbb{C}^n образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.

4. M — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов
\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k

для какого-то k. Другими словами, элементы M определены следующим образом

M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.

Таким образом, M = A^{*}A, где A инъективная, но не обязательно квадратная матрица.

5. Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра).

В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство \mathbb{C}^n может быть заменено на \mathbb{R}^n, а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы[править | править исходный текст]

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть K будет полем вещественных (\mathbb{R}) или комплексных (\mathbb{C}) чисел, а \mathbb{V} будет векторным пространством над K. Эрмитова форма

B : V \times V \rightarrow K

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным B\left(x, y\right), будет B\left(y, x\right). Такая функция B называется положительно определённой, когда B\left(x, x\right) > 0 для любого ненулевого x \in V.

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы[править | править исходный текст]

Эрмитова матрица M размерности n \times n будет называться отрицательно определённой, если

x^{*} M x < 0\,

для всех ненулевых x \in \mathbb{R}^n (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых x \in \mathbb{C}^n).

M будет называться положительно полуопределённой, если

x^{*} M x \geq 0

для всех x \in \mathbb{R}^n (или, эквивалентным образом, для всех \mathbb{C}^n).

M будет называться отрицательно полуопределённой, если

x^{*} M x \leq 0

для всех x \in \mathbb{R}^n (или, эквивалентным образом, для всех \mathbb{C}^n).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица M будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы A выполняется следующее: A^{*}A — положительно полуопределённая, а \operatorname{rank}\left(A\right) = \operatorname{rank}\left(A^{*}A\right). Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица M может быть выражена как M = A^{*}A (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства[править | править исходный текст]

Введём обозначение M \succeq 0 для положительно полуопределённых матриц и  M \succ 0 — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц M, N будем писать  M \succeq N , если  M - N \succeq 0 , то есть M - N положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение \succeq определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка M \succ N.

1.

Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если  M \succeq N \succ 0 , то  N^{-1} \succeq M^{-1} \succ 0 .

2. Если M — положительно определённая матрица и 0 < r \in \mathbb{R}, то r \cdot M положительно определённая матрица.

Если M and N — положительно определённые матрицы, то произведения MNM и NMN тоже положительно определённые. Если M N = N M, то M N тоже положительно определённая.

3. Если M — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали  m_{ii} положительны. Следовательно, \operatorname{trace}\left(M\right) > 0 . Более того,
  | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2} .
4. M — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая  B \succ 0 такая, что B^2 = M. Обозначим B = M^{\frac{1}{2}}. Такая матрица B единственна при условии, что  B \succ 0. Если  M \succ N \succ 0 , то  M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0 .
5. Если M and N — положительно определённые матрицы, то  M\otimes N \succ 0 (где \otimes обозначает произведение Кронекера).
6. Если M and N — положительно определённые матрицы, то  M\circ N \succ 0 (где \circ обозначает произведение Адамара). Когда M,N вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма):

 \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.

7. Если M — положительно определённая матрица, а  N эрмитова матрица и  MN + NM \succeq 0 \left( MN+NM \succ 0 \right), то  N \succeq 0 \left( N \succ 0 \right).
8. Если M and N — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то \operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0.
9. Если M — положительно определённая вещественная матрица, то существует число \delta>0 такое, что  M\succeq \delta I, где  I единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы[править | править исходный текст]

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству x^T M x > 0 для всех ненулевых вещественных векторов x. Такой, к примеру, является матрица

 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов x = (x_1, x_2)^T

 \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Обобщая, x^T M x > 0 для всех ненулевых вещественных векторов x тогда и только тогда, когда симметрическая часть \frac{M + M^T}{2} положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства x^{*} M x > 0. Если x^{*} M x > 0 для всех ненулевых комплексных векторов x, тогда матрица M эрмитова. То есть если x^{*} M x > 0, то M эрмитова. С другой стороны, \operatorname{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0 для всех ненулевых комплексных векторов x тогда и только тогда, когда эрмитова часть \frac{M + M^{*}}{2} положительно определённая.

Литература[править | править исходный текст]

  • R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
  • R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.

См. также[править | править исходный текст]