Неравенство Бишопа — Громова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности[1].

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка[править | править код]

Пусть  — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

для постоянной .

Обозначим через шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть обозначает n-мерное модельное пространство. То есть  — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны . Таким образом,

Тогда для любых и функция

не возрастает в интервале .

Замечания[править | править код]

  • При неравенство можно записать следующим образом
при .
  • Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что
Эта версия впервые доказана Бишопом[2][3].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
  2. Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
  3. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256