Риманово многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Риманово многообразие или риманово пространство (M,g) это вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика g есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным Евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на Римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиенты функций и дивергенции векторных полей.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор[править | править вики-текст]

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′(t0) в касательном пространстве TM(t0) в любой точке t0 ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t0)‖, где ‖·‖ обозначает норму индуцированную скалярным произведением на TM(t0). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длина кривой определенна.

Во многих случаях, для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rn имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве это просто скалярное произведение на Rn. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в Rn достаточной большой размерности n.

Измерение длин и углов при помощи метрики[править | править вики-текст]

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция x(t) параметра t, меняющегося от a до b), равна:

L = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt 
= \int\limits_{x(a)}^{x(b)} \sqrt{ g_{ij}\,dx^i\,dx^j}.

Угол  \theta  \ между двумя векторами, U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ и V=v^j{\partial\over \partial x^j} \ (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}.

Псевдоримановы метрики[править | править вики-текст]

Для псевдоримановой метрики длина по формуле, которая приведена выше, не всегда вещественная, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. Кривые, имеющие тождественно нулевую длину (т.е. такие, что длина любого сегмента кривой равна нулю), называются изотропными и соответствующие касательные векторы тоже называются изотропными. Угол между двумя векторами, один из которых изотропный, вообще говоря, не определен.

Литература[править | править вики-текст]