Обратная параболическая интерполяция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обратная параболическая интерполяция — итерационный численный метод нахождения корня уравнения , где  — непрерывная функция одной переменной. Идея метода состоит в параболической интерполяции функции по трём точкам. Но в отличие от метода Мюллера интерполируется функция обратная к . Метод эффективнее более простых методов, если функция дважды дифференцируема. Алгоритм используется в качестве составной части популярного метода Брента.

Метод[править | править вики-текст]

Алгоритм обратной параболической интерполяции задаётся рекуррентной формулой:

где . Как следует из формулы, для начала вычислений необходимы три начальные точки и желательно, но не обязательно, чтобы корень находился в задаваемом ими отрезке.

Доказательство формулы метода[править | править вики-текст]

Рассмотрим три точки как значения функции от аргументов . Интерполяционный многочлен Лагранжа для этих точек будет выглядеть следующим образом

Поскольку мы ищем корень , то и эта замена даёт искомую рекуррентную формулу.

Сходимость[править | править вики-текст]

Если функция достаточно гладкая, начальные точки близки к корню и корень не является экстремумом, то метод сходится очень быстро. Порядок асимптотической сходимости метода около 1,8. Однако иногда метод не эффективен или вообще не приводит к результату. В частности, если два значения функции случайно совпали, то продолжение итераций невозможно. Этот недостаток устраняется комбинированием метода с более робастными методами меньшей скорости сходимости, что, в частности, сделано в методе Брента.


Сравнение с другими методами[править | править вики-текст]

Обратная параболическая интерполяция тесно связана с методом Мюллера, который имеет примерно такой же порядок сходимости и с методом секущих, порядок сходимости которого меньше. В отличие от метода Ньютона, который имеет большую скорость сходимости (2), метод не требует вычисления производных.

Ссылки[править | править вики-текст]