Обратная функция

Не следует путать с Обратная величина.

Функция $f$ и обратная ей функция $f^{{-1}}$. Если $f(a)=3$, то $f^{{-1}}(3)=a$

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции $f$ обычно обозначается $f^{{-1}}$, иногда также используется обозначение $f^{{{\mathrm {inv}}}}$.

Определение

Функция $g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$, если выполнены следующие тождества:

• $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции $F(y)$ выразить $y$ из уравнения $x-F(y)=0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, ${\sqrt {x}}$ является обратной функцией к $x^{2}$ на $[0,+\infty )$, хотя на промежутке $(-\infty ,0]$ обратная функция другая: $-{\sqrt {x}}$.

Примеры

• Если $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}_{+},\;F(x)=a^{x}$, где $a>0,$ то $F^{{-1}}(x)=\log _{a}x.$
• Если $F(x)=ax+b,\;x\in {\mathbb {R}}$, где $a,b\in {\mathbb {R}}$ фиксированные постоянные и $a\neq 0$, то $F^{{-1}}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
• Если $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in {\mathbb Z}$, то $F^{{-1}}(x)={\sqrt[ {n}]{x}}.$

Свойства

• Областью определения $F^{{-1}}$ является множество $Y$, а областью значений множество $X$.
• По построению имеем:

$y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{{-1}}(y)$

или

$F\left(F^{{-1}}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y$,

$F^{{-1}}(F(x))=x,\;\forall x\in X$,

или короче

$F\circ F^{{-1}}={\mathrm {id}}_{Y}$,

$F^{{-1}}\circ F={\mathrm {id}}_{X}$,

где $\circ$ означает композицию функций, а ${\mathrm {id}}_{X},{\mathrm {id}}_{Y}$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

• Функция $F$ является обратной к $F^{{-1}}$:

$\left(F^{{-1}}\right)^{{-1}}=F$.

• Пусть $F:X\subset {\mathbb {R}}\to Y\subset {\mathbb {R}}$ — биекция. Пусть $F^{{-1}}:Y\to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$ и $y=F^{{-1}}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{{-1}}(y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$

где коэффициенты $A_{k}$ задаются рекурсивной формулой:

$A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{{n+1}}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция