Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции $f$ обычно обозначается $f^{-1}$ , иногда также используется обозначение $f^{\mathrm {inv} }$ .

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Определение[править | править код]

Функция $g:Y\to X$ называется обратной к функции $f:X\to Y$ , если выполнены следующие тождества:

$f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$
$g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$

Связанные определения[править | править код]

Функция $g:Y\to X$ называется левой обратной к функции $f:X\to Y$ , если $g(f(x))=x$ для всех $x\in X$ .
Функция $g:Y\to X$ называется правой обратной к функции $f:X\to Y$ , если $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y$ ^[1].

Существование[править | править код]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$ . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции $F(y)$ выразить $y$ из уравнения $x-F(y)=0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, ${\sqrt {x}}$ является обратной функцией к $x^{2}$ на $[0,+\infty )$ , хотя на промежутке $(-\infty ,0]$ обратная функция другая: $-{\sqrt {x}}$ .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция $y=x+D(x),$ где $D(x)$ — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует^[2]: $x=y-D(y).$

Примеры[править | править код]

Если $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$ , где $a>0,a\neq 1,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
Если $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$ , где $a,b\in \mathbb {R}$ фиксированные постоянные и $a\neq 0$ , то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
Если $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$ , то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$

Свойства[править | править код]

Областью определения $F^{-1}$ является множество $Y$ , а областью значений — множество $X$ .
По построению имеем:

y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)

или

F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y

,

F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X

,

или короче

F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}

,

F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}

,

где $\circ$ означает композицию функций, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

Такое отображение $G\colon \,Y\to X$ , что $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ («обратное справа»), называется сечением отображения $F$ .

Функция $F$ является обратной к $F^{-1}$ :

\left(F^{-1}\right)^{-1}=F

.

Пусть $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y\to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$ и $y=F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$ .
Также, если у функции $f(x)$ есть обратная ей $f^{-1}(x)$ , то графики этих функций будут симметричны относительно линии $y=x$ .

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ .

Доказательство
Поскольку $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ и $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ для любой обратимой функции $\alpha$ , где $e$ — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Подействуем слева функцией ${\left(f\circ g\right)}^{-1}$ и получим: ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$ Теорема доказана.