Функция
f
{\displaystyle f}
и обратная ей функция
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
. Если
f
(
a
)
=
3
{\displaystyle f(a)=3}
, то
f
−
1
(
3
)
=
a
{\displaystyle f^{-1}(3)=a}
Обра́тная фу́нкция — функция , обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y , то обратная ей функция от y даёт x . Обратная функция функции
f
{\displaystyle f}
обычно обозначается
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
, иногда также используется обозначение
f
i
n
v
{\displaystyle f^{\mathrm {inv} }}
.
Функция, имеющая обратную, называется обратимой .
Функция
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
называется обратной к функции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
, если выполнены следующие тождества:
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
для всех
y
∈
Y
;
{\displaystyle y\in Y;}
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
для всех
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
Функция
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
называется левой обратной к функции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
, если
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
для всех
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
Функция
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
называется правой обратной к функции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
, если
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
для всех
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
[1] .
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
относительно
x
{\displaystyle x}
. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к
f
{\displaystyle f}
не существует. Таким образом, функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
обратима на интервале
(
a
;
b
)
{\displaystyle (a;b)}
тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна .
Для непрерывной функции
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
выразить
y
{\displaystyle y}
из уравнения
x
−
F
(
y
)
=
0
{\displaystyle x-F(y)=0}
возможно в том и только том случае, когда функция
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
строго монотонна (см. теорема о неявной функции ). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например,
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
является обратной функцией к
x
2
{\displaystyle x^{2}}
на
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle [0,+\infty )}
, хотя на промежутке
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
обратная функция другая:
−
x
{\displaystyle -{\sqrt {x}}}
.
Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция
y
=
x
+
D
(
x
)
,
{\displaystyle y=x+D(x),}
где
D
(
x
)
{\displaystyle D(x)}
— функция Дирихле , разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[2] :
x
=
y
−
D
(
y
)
.
{\displaystyle x=y-D(y).}
Если
F
:
R
→
R
+
,
F
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}
, где
a
>
0
,
a
≠
1
,
{\displaystyle a>0,a\neq 1,}
то
F
−
1
(
x
)
=
log
a
x
.
{\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}
Если
F
(
x
)
=
a
x
+
b
,
x
∈
R
{\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }
, где
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
фиксированные постоянные и
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
, то
F
−
1
(
x
)
=
x
−
b
a
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}
Если
F
(
x
)
=
x
n
,
x
≥
0
,
n
∈
Z
{\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }
, то
F
−
1
(
x
)
=
x
n
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}
Графики функции и обратной ей
Областью определения
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
является множество
Y
{\displaystyle Y}
, а областью значений — множество
X
{\displaystyle X}
.
По построению имеем:
y
=
F
(
x
)
⇔
x
=
F
−
1
(
y
)
{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}
или
F
(
F
−
1
(
y
)
)
=
y
,
∀
y
∈
Y
{\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y}
,
F
−
1
(
F
(
x
)
)
=
x
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X}
,
или короче
F
∘
F
−
1
=
i
d
Y
{\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}
,
F
−
1
∘
F
=
i
d
X
{\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}
,
где
∘
{\displaystyle \circ }
означает композицию функций , а
i
d
X
,
i
d
Y
{\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}
— тождественные отображения на
X
{\displaystyle X}
и
Y
{\displaystyle Y}
соответственно.
Такое отображение
G
:
Y
→
X
{\displaystyle G\colon \,Y\to X}
, что
F
∘
G
=
i
d
Y
{\displaystyle F\circ G=\mathrm {id} _{Y}}
(«обратное справа»), называется сечением отображения
F
{\displaystyle F}
.
Функция
F
{\displaystyle F}
является обратной к
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
:
(
F
−
1
)
−
1
=
F
{\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}
.
Пусть
F
:
X
⊂
R
→
Y
⊂
R
{\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }
— биекция. Пусть
F
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle F^{-1}:Y\to X}
её обратная функция. Тогда графики функций
y
=
F
(
x
)
{\displaystyle y=F(x)}
и
y
=
F
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=F^{-1}(x)}
симметричны относительно прямой
y
=
x
{\displaystyle y=x}
.
Также, если у функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
есть обратная ей
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
, то графики этих функций будут симметричны относительно линии
y
=
x
{\displaystyle y=x}
.
Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
функции может быть представлена в виде степенного ряда :
f
−
1
(
y
)
=
∑
k
=
0
∞
A
k
(
x
0
)
(
y
−
f
(
x
0
)
)
k
k
!
,
{\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}
где функции
A
k
{\displaystyle A_{k}}
задаются рекурсивной формулой:
A
n
(
x
)
=
{
x
,
n
=
0
A
n
−
1
′
(
x
)
f
′
(
x
)
,
n
>
0
{\displaystyle A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)}}\;,\;n>0\end{cases}}}