Обратная функция

Не следует путать с Обратная величина.

Функция $f$$f$ и обратная ей функция $f^{-1}$$f^{-1}$. Если $f(a)=3$$f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$$f^{-1}(3)=a$

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции $f$$f$ обычно обозначается $f^{-1}$$f^{-1}$, иногда также используется обозначение $f^{\mathrm {inv} }$$f^{\mathrm{inv}}$.

Определение

Функция $g:Y\to X$$g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$$f:X\to Y$, если выполнены следующие тождества:

• $f(g(y))=y$$f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$$y\in Y;$
• $g(f(x))=x$$g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$$x\in X.$

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$$y = f(x)$ относительно $x$$x$. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$$f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$$f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$$(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции $F(y)$$F(y)$ выразить $y$$y$ из уравнения $x-F(y)=0$$x - F(y) = 0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$$F(y)$ строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, ${\sqrt {x}}$$\sqrt{x}$ является обратной функцией к $x^{2}$$x^{2}$ на $[0,+\infty )$$[0, +\infty)$, хотя на промежутке $(-\infty ,0]$$(-\infty, 0]$ обратная функция другая: $-{\sqrt {x}}$$-\sqrt{x}$.

Примеры

• Если $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$$F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$, где $a>0,$$a>0,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$$F^{-1}(x) = \log_a x.$
• Если $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$$F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$, где $a,b\in \mathbb {R}$$a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные и $a\neq 0$$a \neq 0$, то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$$F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$
• Если $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$$F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$, то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$$F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$

Свойства

• Областью определения $F^{-1}$$F^{-1}$ является множество $Y$$Y$, а областью значений — множество $X$$X$.
• По построению имеем:

$y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y$$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$,

$F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X$$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$,

или короче

$F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}$$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$,

$F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}$$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$,

где $\circ$$\circ$ означает композицию функций, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$$\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ — тождественные отображения на $X$$X$ и $Y$$Y$ соответственно.

• Функция $F$$F$ является обратной к $F^{-1}$$F^{-1}$:

$\left(F^{-1}\right)^{-1}=F$$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$.

• Пусть $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$$F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y\to X$$F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$$y = F(x)$ и $y=F^{-1}(x)$$y = F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$$y = x$.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$$F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},$

где коэффициенты $A_{k}$$A_k$ задаются рекурсивной формулой:

$A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}$$A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция