Обратная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция и обратная ей функция . Если , то

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

Определение[править | править вики-текст]

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

  • для всех
  • для всех

Существование[править | править вики-текст]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если , где то
  • Если , где фиксированные постоянные и , то
  • Если , то

Свойства[править | править вики-текст]

  • Областью определения является множество , а областью значений множество .
  • По построению имеем:

или

,
,

или короче

,
,

где означает композицию функций, а  — тождественные отображения на и соответственно.

  • Функция является обратной к :
.
  • Пусть  — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .

Разложение в степенной ряд[править | править вики-текст]

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

См. также[править | править вики-текст]