Важность статьи для проекта «Математика»: высокая
Об аксиомах Евклидовой геометрии
1.1. Об отношениях между точками и прямыми
1.1.1 Каждые две точки принадлежат по меньшей мере одной прямой.
∀
A
1
∀
A
2
∃
{
1
,
.
.
.
}
a
(
⟨
A
1
,
A
2
⟩
∈
a
×
a
)
{\displaystyle ~\forall A_{1}\ \forall A_{2}\ \exists \{1,...\}a\ (\langle A_{1},A_{2}\rangle \in a\times a)}
⇔
∀
A
1
∀
A
2
∃
a
(
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
)
{\displaystyle ~\Leftrightarrow \forall A_{1}\forall A_{2}\exists a\ (A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a)}
Следствия
Каждая точка принадлежит по меньшей мере одной прямой.
∀
A
∃
a
(
A
∈
a
)
{\displaystyle ~\forall A\ \exists a\ (A\in a)}
⇔
∀
A
∃
{
1
,
.
.
.
}
a
(
A
∈
a
)
{\displaystyle ~\Leftrightarrow \forall A\ \exists \{1,...\}a\ (A\in a)}
Каждые две различные точки принадлежат по меньшей мере одной прямой.
∀
A
1
∀
A
2
(
A
1
≠
A
2
→
∃
a
(
⟨
A
1
,
A
2
⟩
∈
a
×
a
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}\neq A_{2}\to \exists a\ (\langle A_{1},A_{2}\rangle \in a\times a))}
1.1.2 Каждые две различные точки принадлежат самое большее одной прямой.
∀
A
1
,
A
2
(
A
1
≠
A
2
→
∃
{
0
,
1
}
a
(
⟨
A
1
,
A
2
⟩
∈
a
×
a
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1},A_{2}\ (A_{1}\neq A_{2}\to \exists \{0,1\}a\ (\langle A_{1},A_{2}\rangle \in a\times a))}
⇔
∀
A
1
∀
A
2
(
A
1
≠
A
2
→
∀
a
1
∀
a
2
(
A
1
∈
a
1
∧
A
2
∈
a
1
∧
A
1
∈
a
2
∧
A
2
∈
a
2
→
a
1
=
a
2
)
)
{\displaystyle ~\Leftrightarrow \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}\neq A_{2}\to \forall a_{1}\forall a_{2}\ (A_{1}\in a_{1}\ \land \ A_{2}\in a_{1}\quad \land \quad A_{1}\in a_{2}\ \land \ A_{2}\in a_{2}\to a_{1}=a_{2}))}
Следствие
Каждые две различные прямые пересекаются самое большее в одной точке.
∀
a
1
∀
a
2
(
a
1
≠
a
2
→
∀
A
1
∀
A
1
(
A
1
∈
a
1
∧
A
1
∈
a
2
∧
A
2
∈
a
1
∧
A
2
∈
a
2
→
A
1
=
A
2
)
)
{\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \forall A_{1}\forall A_{1}\ (A_{1}\in a_{1}\ \land \ A_{1}\in a_{2}\quad \land \quad A_{2}\in a_{1}\ \land \ A_{2}\in a_{2}\to A_{1}=A_{2}))}
⇔
∀
a
1
∀
a
2
(
a
1
≠
a
2
→
∃
{
0
,
1
}
A
(
A
∈
a
1
∩
a
2
)
)
{\displaystyle ~\Leftrightarrow \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists \{0,1\}A\ (A\in a_{1}\cap a_{2}))}
1.1.3 Какова бы ни была прямая, существуют по меньшей мере три точки, из которых одна [точка] не принадлежит данной прямой.
∀
a
∃
A
1
,
A
2
,
A
3
(
A
1
≠
A
2
∧
A
1
≠
A
3
∧
A
2
≠
A
3
∧
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
∧
A
3
∉
a
)
{\displaystyle ~\forall a\ \exists A_{1},A_{2},A_{3}\ (A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\neq A_{3}\ \land \ A_{2}\neq A_{3}\quad \land \quad A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a\ \land \ A_{3}\notin a)}
1.2. Об отношениях между точками и плоскостями
1.2.1 Если одна точка принадлежит двум плоскостям, тогда существует ещё одна точка, принадлежащая этим плоскостям.
∀
A
1
∀
α
1
∀
α
2
(
A
1
∈
α
1
∩
α
2
→
∃
A
2
(
A
2
≠
A
1
∧
A
2
∈
α
1
∩
α
2
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1}\ \forall \alpha _{1}\ \forall \alpha _{2}\ (A_{1}\in \alpha _{1}\cap \alpha _{2}\to \exists A_{2}\ (A_{2}\neq A_{1}\ \land \ A_{2}\in \alpha _{1}\cap \alpha _{2}))}
1.2.2 Какова бы ни была плоскоть, существуют по меньшей мере четыре точки, из которых одна [точка] не принадлежит этой плоскости.
∀
α
∃
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
(
A
1
≠
A
2
∧
A
1
≠
A
3
∧
A
1
≠
A
4
∧
A
2
≠
A
3
∧
A
2
≠
A
4
∧
A
3
≠
A
4
∧
A
1
∈
α
∧
A
2
∈
α
∧
A
3
∈
α
∧
A
4
∉
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall \alpha \ \exists A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\ (A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\neq A_{3}\ \land \ A_{1}\neq A_{4}\ \land \ A_{2}\neq A_{3}\ \land \ A_{2}\neq A_{4}\ \land \ A_{3}\neq A_{4}\\\ \land \ A_{1}\in \alpha \ \land \ A_{2}\in \alpha \ \land \ A_{3}\in \alpha \ \land \ A_{4}\notin \alpha )\end{aligned}}}
1.3. Об отношениях между точками, прямыми и плоскостями.
1.3.1.1 Каждые три точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат по меньшей мере одной плоскости.
∀
A
1
,
A
2
,
A
3
(
¬
(
∃
a
(
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
∧
A
3
∈
a
)
)
→
∃
α
(
A
1
∈
α
∧
A
2
∈
α
∧
A
3
∈
α
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1},A_{2},A_{3}\ (\neg (\exists a\ (A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a\ \land \ A_{3}\in a))\to \exists \alpha \ (A_{1}\in \alpha \ \land \ A_{2}\in \alpha \ \land \ A_{3}\in \alpha ))}
1.3.1.2 Каковы бы ни три точки, не лежащие на одной прямой, существует самое большее одна плоскость, которой они принадлежат.
∀
A
1
,
A
2
,
A
3
(
¬
(
∃
a
(
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
∧
A
3
∈
a
)
)
→
∃
{
0
,
1
}
α
(
A
1
∈
α
∧
A
2
∈
α
∧
A
3
∈
α
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1},A_{2},A_{3}\ (\neg (\exists a\ (A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a\ \land \ A_{3}\in a))\to \exists \{0,1\}\alpha \ (A_{1}\in \alpha \ \land \ A_{2}\in \alpha \ \land \ A_{3}\in \alpha ))}
1.3.2 Если две различные точки принадлежат и одной прямой, и одной плоскости, тогда каждая точка этой прямой принадлежит этой плоскости.
∀
A
1
,
A
2
∀
a
∀
α
(
A
1
≠
A
2
∧
A
1
∈
a
∩
α
∧
A
2
∈
a
∩
α
→
∀
A
(
A
∈
a
→
A
∈
α
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1},A_{2}\ \forall a\ \forall \alpha \ (A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\in a\cap \alpha \ \land \ A_{2}\in a\cap \alpha \to \forall A\ (A\in a\to A\in \alpha ))}
1.3.3 Аксиома параллельности
∀
A
∀
a
∀
α
(
A
∈
α
∧
A
∉
a
∧
a
⊆
α
→
∃
{
1
}
a
1
(
A
∈
a
1
∧
a
1
⊂
α
∧
a
1
∩
a
=
∅
)
{\displaystyle ~\forall A\ \forall a\ \forall \alpha \ (A\in \alpha \ \land \ A\notin a\ \land \ a\subseteq \alpha \to \exists \{1\}a_{1}\ (A\in a_{1}\ \land \ a_{1}\subset \alpha \ \land \ a_{1}\cap a=\varnothing )}
2. О порядке
2.1 О порядке на прямой
2.1.1 Если точка
A
2
{\displaystyle ~A_{2}}
, принадлежащая прямой
a
{\displaystyle ~a}
, лежит между точками
A
1
{\displaystyle ~A_{1}}
и
A
3
{\displaystyle ~A_{3}}
этой же прямой, тогда точка
A
2
{\displaystyle ~A_{2}}
лежит между точками
A
3
{\displaystyle ~A_{3}}
и
A
1
{\displaystyle ~A_{1}}
, при этом все эти точки попарно различны.
∀
a
∀
A
1
,
A
2
,
A
3
(
A
1
,
A
2
,
A
3
∈
a
∧
⟨
A
1
|
A
2
|
A
3
⟩
→
⟨
A
3
|
A
2
|
A
1
⟩
∧
A
1
≠
A
2
∧
A
1
≠
A
3
∧
A
2
≠
A
3
)
{\displaystyle ~\forall a\ \forall A_{1},A_{2},A_{3}\ (A_{1},A_{2},A_{3}\in a\ \land \ \langle A_{1}|A_{2}|A_{3}\rangle \to \langle A_{3}|A_{2}|A_{1}\rangle \ \land \ A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\neq A_{3}\ \land \ A_{2}\neq A_{3})}
2.1.2 Каковы бы ни были две различные точки
A
1
{\displaystyle ~A_{1}}
и
A
2
{\displaystyle ~A_{2}}
, найдётся такая точка
A
3
{\displaystyle ~A_{3}}
, что
A
2
{\displaystyle ~A_{2}}
лежит между точками
A
1
{\displaystyle ~A_{1}}
и
A
3
{\displaystyle ~A_{3}}
.
∀
A
1
,
A
2
∀
a
(
A
1
≠
A
2
∧
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
→
∃
A
3
(
A
3
∈
a
∧
⟨
A
1
|
A
2
|
A
3
⟩
)
)
{\displaystyle ~\forall A_{1},A_{2}\ \forall a\ (A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a\to \exists A_{3}\ (A_{3}\in a\ \land \ \langle A_{1}|A_{2}|A_{3}\rangle ))}
2.1.3 Среди любых трёх попарно различных точек одной прямой есть самое большее одна точка, которая лежит между двумя другими [точками].
∀
A
1
,
A
2
,
A
3
∀
a
(
A
1
≠
A
2
∧
A
1
≠
A
3
∧
A
2
≠
A
3
∧
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
∧
A
3
∈
a
→
¬
(
⟨
A
1
|
A
3
|
A
2
⟩
∧
⟨
A
1
|
A
2
|
A
3
⟩
∨
⟨
A
1
|
A
3
|
A
2
⟩
∧
⟨
A
2
|
A
1
|
A
3
⟩
∨
⟨
A
1
|
A
2
|
A
3
⟩
∧
⟨
A
2
|
A
1
|
A
3
⟩
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\forall A_{1},A_{2},A_{3}\ \forall a\ (A_{1}\neq A_{2}\ \land \ A_{1}\neq A_{3}\ \land \ A_{2}\neq A_{3}\ \land \ A_{1}\in a\ \land \ A_{2}\in a\ \land \ A_{3}\in a\quad \to \\\ \neg (\langle A_{1}|A_{3}|A_{2}\rangle \ \land \ \langle A_{1}|A_{2}|A_{3}\rangle \ \lor \ \langle A_{1}|A_{3}|A_{2}\rangle \ \land \ \langle A_{2}|A_{1}|A_{3}\rangle \ \lor \ \langle A_{1}|A_{2}|A_{3}\rangle \ \land \ \langle A_{2}|A_{1}|A_{3}\rangle ))\end{matrix}}}
2.2 Аксиома Паша
∀
A
1
,
A
2
,
A
3
∀
b
(
¬
(
∃
a
(
A
1
∈
a
∧
A
2
∈
a
∧
A
3
∈
a
)
)
∧
b
⊂
A
1
A
2
A
3
∧
A
1
∉
b
∧
A
2
∉
b
∧
A
3
∉
b
∧
b
∩
(
A
1
A
2
)
≠
∅
→
b
∩
(
A
2
A
3
)
≠
∅
⊻
b
∩
(
A
3
A
1
)
≠
∅
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall A_{1},A_{2},A_{3}\ \forall b\ (\neg (\exists a\ (A_{1}\in a\land A_{2}\in a\land A_{3}\in a))\ \land \ b\subset A_{1}A_{2}A_{3}\\\ \land \ A_{1}\notin b\ \land \ A_{2}\notin b\ \land \ A_{3}\notin b\ \land \ b\cap (A_{1}A_{2})\neq \varnothing \\\ \to b\cap (A_{2}A_{3})\neq \varnothing \ \veebar \ b\cap (A_{3}A_{1})\neq \varnothing )\end{aligned}}}
--Галактион 19:54, 5 февраля 2009 (UTC) [ ответить ]