Обсуждение:Неравенство Бесселя
Проект «Физика» (важность для проекта средняя)
Эта статья тематически связана с вики-проектом «Физика», цель которого — создание и улучшение статей по темам, связанным с физикой. Вы можете её отредактировать, а также присоединиться к проекту, принять участие в его обсуждении и поработать над требуемыми статьями. |
Ряд или n-частичная сумма?[править код]
В качестве авторитетного источника считаю возможным привести классический университетский учебник по мат. анализу Ильина и Позняка [могу оставить пиратскую ссылку на 4-е издание].
Если коротко, то можно сразу найти теорему 10.4 о неравенстве Бесселя и увидеть там именно суммирование до бесконечности, то есть ряд. После этого, формально, можно вернуться к версии статьи с рядом, а для принятия версии с n-частичной суммой тогда ожидать приведения не менее авторитетного источника.
Если же попытаться разобраться по существу, то можно, как минимум, пробежаться по всему § 1 главы 10 и ещё дочитать до теоремы 10.5 в § 2. После этого можно сделать следующие выводы:
- неравенство Бесселя устанавливается для любой, не обязательно замкнутой ортогональной системы;
- неравенство Бесселя переходит в точное равенство (называемое равенством Парсеваля) тогда, когда на ортогональную систему накладывается условие её замкнутости.
Содержание 1-го вывода, а именно указание на то, что рассматриваемая ортогональная система не обязательно замкнута, можно было бы в явном виде отметить в статье. Однако я, если честно, несколько путаюсь в определениях гильбертова и евклидова пространства и не могу ответить на вопрос: может ли ортогональная система из элементов, принадлежащих гильбертову пространству (а именно такая система рассматривается в статье), быть незамкнутой?
2-й вывод — о различиях между неравенством Бесселя и равенством Парсеваля. Не авторизовавшийся коллега в описании к своей правке утверждал, что, мол, при суммировании до n мы имеем неравенство, а при бесконечном суммировании — равенство. Но ведь незамкнутые бесконечномерные системы тем и примечательны, что при разложении по ним некоторых элементов в ряд Фурье этот ряд необязательно сходится к самому элементу! — Enciwik (обс.) 23:57, 27 июня 2020 (UTC)