Ортогональные траектории

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если  — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а  — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то и должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

Пусть у нас есть семейство кривых , где  — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:

Используя определение градиента, можно записать:

Таким образом:

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением . Дифференцируя данное уравнение по переменной , получаем:

Исключим параметр из системы:

Заменим на :

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

Данное уравнение есть ни что иное, как уравнение окружности радиуса . Действительно:

Литература[править | править вики-текст]

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

Ссылки[править | править вики-текст]