Основная теорема аффинной геометрии

Основная теорема аффи́нной геометрии говорит, что биективное отображение евклидовой плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием, то есть оно записывается в координатах как

$(x,y)\mapsto (a\cdot x+b\cdot y+v,c\cdot x+d\cdot y+w)$

для каких-то констант $a,b,c,d,v,w$. В частности из теоремы следует, что любое такое отображение непрерывно.

Так называются и обобщения этого результата на пространства высших размерностей, а так же на вектроные пространства над другими полями и телами. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.

Формулировка

Пусть $V$ — векторное пространство над телом $K$, $V'$ — векторное пространство над телом $K'$. Определим полулинейное отображение как отображение $f:V\rightarrow V'$, удовлетворяющее свойству

$f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda )f(x)+\phi (\mu )f(y)\ \forall x,y\in V\ \forall \lambda ,\mu \in K,$

где $\phi$ — изоморфизм тел $K$ и $K'$. Пусть $S$ и $S'$ — аффинные пространства, ассоциированные с $V$ и $V'$ соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение $F:S\rightarrow S'$, удовлетворяющее свойству

$F(A)-F(B)=f(A-B)\ \forall A,B\in S,$

где $f:V\rightarrow V'$ — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение $F:S\rightarrow S'$ удовлетворяет следующим условиям:

• $\operatorname {dim} {{\texttt {<}}F(S){\texttt {>}}}\geq 2$
• Если $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, то образ любой прямой прямая или точка
• Если $K=K'=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда $F$ — полуаффинное отображение.

Вариации и обобщения

• Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем $\mathbb {R}$ являются аффинными, так как на $\mathbb {R}$ есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность $F$, конечномерность $S$ и $S'$, а также совпадение их размерностей, то в случае $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.

Применение

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.

Литература

• Берже М.  Геометрия / И. Х. Сабитов; пер. с франц. Ю. Н. Сударёв, А. В. Пажитнов, С. В. Чмутов. — М., 1984. — Т. 1. — 560 с.
• Лелон-Ферран Ж.  Основания геометрии / пер. с франц. В. В. Рыжков. — М., 1989. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.
• Прасолов В. В., Тихомиров В. М.  Геометрия. — 2-е изд. — М., 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-94057-267-1.