Векторное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам.[⇨] Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубому геометрическому описанию, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ.), где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор — тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение[править | править вики-текст]

Линейное, или векторное пространство над полем  — это упорядоченная четвёрка , где

  •  — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
  •  — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
  • Определена операция сложения векторов , сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , называемый их суммой и обозначаемый ;
  • Определена операция умножения векторов на скаляры , сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый или ;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. , для любых (коммутативность сложения);
  2. , для любых (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства ;
  4. для любого существует такой элемент , что , называемый вектором, противоположным вектору ;
  5. (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  3. для любого .
  4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5. для любого .
  6. для любых и .
  7. для любого .

Связанные определения и свойства[править | править вики-текст]

Подпространство[править | править вики-текст]

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  1. для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;
  2. для всяких векторов , вектор также принадлежал .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов , вектор также принадлежал для любых .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств[править | править вики-текст]

  • Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
  • Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
    .
    • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации[править | править вики-текст]

Конечная сумма вида

называется[3] линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

  • нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1[4],
  • выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
  • сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис. Размерность[править | править вики-текст]

Векторы называются[5] линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

  • Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.

Линейная оболочка[править | править вики-текст]

Линейная оболочка подмножества линейного пространства  — пересечение всех подпространств , содержащих .

Линейная оболочка является подпространством .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка — пространство, натянутое на множество .

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если  — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если  — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности .
  • Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
  • Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
  • Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.