Первичный идеал (алгебра)

Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца. Понятие простого идеала является частным случаем этого понятия.

Определение

Первичным идеалом полугруппы или кольца $A$ называется всякий идеал $P$ (не совпадающий с A), такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\forall r\in A\ arb\in P$, то либо $a\in P$, либо $b\in P$.

Свойства

Следующие условия эквивалентны первичности идеала P ≠ R кольца R:

• Для любых a, b ∈ R, если (a)(b) ⊆ P, то a ∈ P или b ∈ P.
• Для любых правых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P или B ⊆ P.
• Для любых левых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P или B ⊆ P.
• Для любых a, b ∈ R, если aRb ⊆ P, то a ∈ P или b ∈ P.

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.

См. также

• Простой идеал
• Примарный идеал

Литература

• Ламбек И. Кольца и модули. — 3-е изд. — М.: Мир, 1971. — 278 с.