Кольцо (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются числа (целые, вещественные, комплексные), функции, определенные на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на множество чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом[1].

Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца[2].

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической K-теории, теории инвариантов.

История[править | править вики-текст]

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 60-70-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи было опубликовано Р.Дедекиндом ("X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле", 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала.

Определение[править | править вики-текст]

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и \times (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a, b, c \in R:

  1. a + b = b + a — коммутативность сложения;
  2. a + (b + c) = (a + b) + c — ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b =  b + a = 0\right) — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — ассоциативность умножения;
  6. \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.   — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, и операция \times дистрибутивна слева и справа относительно +.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей[3], но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы[4].

Вместо символа \times часто используют символ \cdot, либо вовсе его опускают.

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  • относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
  • для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
  • нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
  • a \cdot 0 = 0, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
  • (-b) = (-1) \cdot b, где (-b) — элемент, обратный к b по сложению;
  • (-a) \cdot b = (-ab);
  • (-a) \cdot (-b) = (ab).[5][4]

Основные понятия[править | править вики-текст]

Виды элементов кольца[править | править вики-текст]

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным[⇨]). Тогда левый делитель нуля — это ненулевой элемент a кольца R, для которого существует ненулевой элемент b кольца R, такой что ab=0. Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале (-1, 1). Положим f(x)=\max(0, x), g(x)=\max(0, -x). тогда f\ne0, g\ne0, fg=0, то есть f, g являются делителями нуля. Здесь условие f\ne0 означает, что f является функцией, отличной от нуля, но не означает, что f нигде не принимает значение 0.[6]

Нильпотентный элемент — это элемент a, такой что a^n = 0 для некоторого n > 0. Пример: матрица \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr). Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно[7].

Идемпотентный элемент e — это такой элемент, что e\cdot e=e. Например, идемпотентен любой оператор проектирования, в частности, следующий: \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr) в кольце матриц 2\times 2.[8]

Если a – произвольный элемент кольца с единицей R, то левым обратным элементом к a называется a^{-1}_{l} такой, что a^{-1}_{l}a=1. Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента a есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что a обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается a^{-1}. Сам элемент называется обратимым элементом.[6]

Подкольцо[править | править вики-текст]

Подмножество A\subset R называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. При этом говорят, что R – расширение кольца A.[9] Другими словами, непустое подмножество A\subset R является подкольцом, если

  • A является аддитивной подгруппой кольца R, то есть для любых x, y \in A : x+y, -x \in A,
  • A замкнуто относительно умножения, то есть для любых x, y \in A : xy \in A.

По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.[10]

Подкольцо наследует свойство коммутативности.[11]

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество E\subset R называется подкольцом, порождённым E, а E — системой образующих для кольца R. Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих E, удовлетворяет этому определению.[10]

Подкольцо кольца с единицей R, порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца R. Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца R.[12]

Идеалы[править | править вики-текст]

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп[13].

Непустое подмножество I кольца R называется левым идеалом, если:

  • I является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из I принадлежит I, а также a\in I\Rightarrow -a\in I.
  • I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого a\in I, r\in R верно ra\in I.

Из первого свойства следует и замкнутость I относительно умножения внутри себя, так что I является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.
Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца R — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца R может определяться как ядро некоторого гомоморфизма ~ f : R \to R'.[14]

Если x — элемент кольца R, то множество элементов вида Rx (соответственно, xR) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым x. Если кольцо R коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый x, обозначается (x). Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными[15].

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым, если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля.
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным.[16]

Гомоморфизм[править | править вики-текст]

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R в кольцо S — это функция ~ f : R \to S, такая что

  1. f(a + b) = f(a) + f(b),
  2. f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) ~\forall a, b ~\mathcal {2} ~R.

В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1) = 1[17][18].

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.[19]

Если f:R\to S — гомоморфизм колец, множество элементов R, переходящих в ноль, называется ядром f (обозначается \mathrm{ker} f). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом[20]. С другой стороны, образ f не всегда является идеалом, но является подкольцом S[14] (обозначается \mathrm{im} f).

Факторкольцо[править | править вики-текст]

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца R по двустороннему идеалу I — это множество классов смежности аддитивной группы R по аддитивной подгруппе I со следующими операциями:

  • (a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
  • (a + I)(b + I) = (ab) + I.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм p: R \to R/I, задаваемый как x \mapsto x + I. Ядром при этом является идеал I.

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть ~ f : R \to R', тогда \mathrm{Im} f изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма \mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f.[21]

Некоторые особые классы колец[править | править вики-текст]

  • Кольцо с единицей 1 \neq 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.[22]
  • Коммутативное тело называется полем[23] Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов[7][24].
  • Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)[25]Любое поле является областью целостности, но обратное неверно[26].
  • Целостное кольцо R, не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма ~N\colon R \to Z_+ такая, что:
    1. N(ab)\le N(a), b — обратим;
    2. для любых a,b \in R существуют q,r \in R такие, что a = qb + r и r = 0 или N( r ) < N(b)[25].
  • Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов[11].
  • Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное[27].

Примеры[править | править вики-текст]

  • \{ 0\} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[4]. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.
  • \mathbb{Z} — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над \Z. Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.[28][29]
  • \mathbb{Z}_n — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое.[30] Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.
  • \mathbb{Q} — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел \R и p-адических чисел \Q_p, где p — произвольное простое число[31].
  • Для произвольного коммутативного кольца R можно построить кольцо многочленов от n переменных R[x_1,x_2,\dots,x_n] с коэффициентами в R.[10] В частности, R[x][y]=R[x,y]. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).
  • Кольцо подмножеств множества X — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:
A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),
A \cdot B = A \cap B.
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё X. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть A\cdot A = A. Любой элемент является своим обратным по сложению: A+A=0. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей[4].

Конструкции[править | править вики-текст]

Прямое произведение[править | править вики-текст]

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R\times S можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых r_1,r_2\in R, s_1,s_2\in S:

  • (r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),
  • (r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).[32]

Пусть R — коммутативное кольцо и \mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x +  \mathfrak{a}_1, \ldots , x +  \mathfrak{a}_n)

сюръективно, а его ядро — \prod \mathfrak{a}_i = \cap  \mathfrak{a}_i (см. Произведение идеалов, Пересечение идеалов).[17]

Кольцо эндоморфизмов[править | править вики-текст]

Пусть A — абелева группа (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество гомоморфизмов этой группы в себя (то есть эндоморфизмов) образует кольцо, обозначаемое End(A). Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: (f+g)(x)=f(x)+g(x), а произведение — как композиция гомоморфизмов: (fg)(x)=f(g(x)). Если A — группа, не являющаяся абелевой, то f+g, вообще говоря, не равно g+f, тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.[33]

Поле частных и кольцо частных[править | править вики-текст]

Пусть R — целостное кольцо, тогда следующая конструкция позволяет построить намименьшее поле, содержащее его. Поле частных кольца R — это множество классов эквивалентности формальных дробей p/q,\; p,q\in R по следующему отношению эквивалентности:

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}   тогда и только тогда, когда {p_1q_2}= {p_2q_1},

с обычными операциями: \scriptstyle{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть S — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце R (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда кольцо частных S^{-1}R — это множество классов эквивалентности формальных дробей r/s,\; r\in R, s\in S по отношению эквивалентности:

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2} тогда и только тогда, когда существует s'\in S, такое что s'{r_1s_2-r_2s_1}= 0.

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе S=\{10^n|n\geqslant 0\}.

Существует естественное отображение R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1. Его ядро состоит из таких элементов r, для которых существует sS, такое что rs = 0. В частности, для целостного кольца это отображение инъективно[34][35].

Категорное описание[править | править вики-текст]

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую Ring (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают Rng). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна. Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения, копроизведения, ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо \mathbb Z) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».[28][29]

Специальные классы колец[править | править вики-текст]

Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почтикольцо.

Структуры над кольцами[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
  • Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Колмогоров А. Н.,Юшкевич А. П.(ред.). Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — 255 с.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М.: Наука, 1968. — 431 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.