Простой идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативном кольце идеал называется простым, если факторкольцо по нему является областью целостности. Равносильная формулировка: если и из следует или .

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца по простому идеалу .

Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.


Свойства[править | править вики-текст]

  • Максимальный идеал кольца (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
  • Идеал прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце с единицей задан идеал , не пересекающийся с мультипликативной системой . Тогда существует простой идеал , содержащий и не пересекающийся с системой .[источник не указан 1057 дней]
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал , совпадает с радикалом идеала . Радикал идеала  — это множество . Оно тоже является идеалом кольца .

Примеры[править | править вики-текст]

  • В кольце целых чисел каждый простой идеал имеет вид , где — простое число.
  • В кольце многочленов от одной переменной каждый простой идеал имеет вид , где — неприводимый над многочлен.
  • В кольце многочленов множество является простым идеалом.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.