Переменные действие — угол

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Образующей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

 S_0(q, E) = \int p(q, E) dq ,

где E — энергия, однозначно связана с адиабатическим инвариантом I.

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная ω определяется, как

 \omega = \frac{\partial S_0(q, I)}{\partial I} .

Уравнения движения в переменных действие-угол имеют очень простой вид:

 \dot{I} = 0,
 \dot{\omega} = \frac{dE}{dI} = \nu(I)

Таким образом, адиабатический инвариант I является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на 2π. Переменные координата q и импульса p являются периодическими функциями угловой переменной.

Пример[править | править вики-текст]

Найдем переменные действия-угол для гармонического осциллятора

 E=\frac{1}{2}(p^2+\omega^2 q^2)  \  \  \Rightarrow  \ p(E,q)=\pm\sqrt{2E-\omega^2q^2}

По определению

I=\frac{1}{2\pi}\oint \sqrt{2E-\omega^2q^2}dq=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\sqrt{2E}}{\omega}}^{\frac{\sqrt{2E}}{\omega}}\sqrt{2E-\omega^2q^2}dq=\frac{E}{\omega}

А значит производящая функция канонического преобразования имеет вид

S(I,q)=\omega \int^q \sqrt{2I-x^2}dx

По определению переменной "угол"

\theta=\frac{\partial S}{\partial I}=\omega\int^q \frac{dx}{\sqrt{2I-x^2}}=\omega \arctan \frac{q}{\sqrt{2I-q^2}} \ \Rightarrow  \ q=\sqrt{2I}\sin\frac{\theta}{\omega}

Литература[править | править вики-текст]

  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. Механика. Теоретическая физика, т.1. — Госиздат, 1958. — 206 с.

См. также[править | править вики-текст]