Суперинтегрируемая гамильтонова система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на -мерном симплектическом многообразии , для которой выполняются следующие условия:

(i) Существуют независимых интегралов движения . Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие над связным открытым подмножеством .

(ii) Существуют гладкие вещественные функции on , такие что скобки Пуассона интегралов движения имеют вид .

(iii) Матрица имеет постоянный коранг на .

Если , то это — случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем следующим образом обобщает теоремы Лиувилля — Арнольда о переменных действие — угол.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие является расслоением На торы . Для данного её слоя существует его открытая окрестность , которая является тривиальным расслоением, наделены послойными обобщёнными координатами действие — угол , , , такими что — координаты на . Эти координаты являются каноническими координатами на симплектическом многообразии . При этом гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действие , которые являются функциями Казимира коиндуцированной пуассоновой структуры на .

Теорема Лиувилля — Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых систем были обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальным цилиндрам .

Литература[править | править вики-текст]

  • Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
  • Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv:math-ph/0109031.
  • Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
  • Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv:math/0610790.
  • Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363.

См. также[править | править вики-текст]