Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b₂ = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S⁰, S⁺ и S⁻, которые являются компактными факторами ${\mathbb {C} }\times H$ (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются разрешимыми многообразиями. Они получаются как фактор ${\mathbb {C} }\times H$ по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на ${\mathbb {C} }\times H$.

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти $b_{2}=0$. Эти поверхности являются поверхностями Кодайры класса VII, что означает, что для них $b_{1}=1$ и размерность Кодайры равна $-\infty$. Как доказали Богомолов, Ли-Яу и Телеман, любая поверхностями класса VII с b₂ = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, поверхность Кодайры и поверхности Иноуэ S⁰, S⁺ и S⁻.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже.

Поверхности типа S⁰

Пусть $\phi$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ и вещественным собственным значением c>1, при этом $|\alpha |^{2}c=1$. Тогда $\phi$ обратима в целых числах и определяет действие группы ${\mathbb {Z} }$ целых чисел на ${\mathbb {Z} }^{3}$. Пусть $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$. Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }$,

действующей на ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$, при этом группа действует на $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$-часть путём переносов, а на $\rtimes {\mathbb {R} }$-часть как $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$.

Мы расширяем это действие на ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$, положив $v\mapsto e^{\log ct}v$, где t — параметр $\rtimes {\mathbb {R} }$-части группы ${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }$. Действие тривиально на факторе ${\mathbb {R} }^{3}$ по ${\mathbb {R} }^{>0}$. Это действие заведомо голоморфно и фактор ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$ называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы $\phi$, с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S⁺

Пусть n — положительное целое число, а $\Lambda _{n}$ — группа верхних треугольных матриц

${\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},$,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм $\Lambda _{n}$, который обозначим $\phi$. Фактор группы $\Lambda _{n}$ по её центру C — это ${\mathbb {Z} }^{2}$. Предположим, что $\phi$ действует на $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }$, с ${\mathbb {Z} }$, действующей на $\Lambda _{n}$, как $\phi$. Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\mathbb {R} }^{3}$, мы получим действие $\Gamma _{n}$ на ${\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$. Определим действие $\Gamma _{n}$ на ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$ с $\Lambda _{n}$ действующим тривиально на ${\mathbb {R} }^{>0}$-часть и ${\mathbb {Z} }$ действует как $v\mapsto e^{t\log b}v$. Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа $S^{0}$, показывают, что это действие голоморфно. Фактор ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}$называется поверхностью Иноуэ типа $S^{+}$.

Поверхности типа S⁻

Поверхности Иноуэ типа $S^{-}$ определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма $\phi$, действующего на ${\mathbb {Z} }^{2}$, имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII₀ с двумя циклами рациональных кривых.