Поливектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике (в полилинейной алгебре) поливектор (или, конкретно, р-вектор), векторного пространства \,V — элемент некоторой внешней степени \bigwedge\nolimits^p пространства \,V над полем \,K. р-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на \,V.

2-вектор также называют бивектором, а 3-вектор — тривектором. р-вектор дуален к р-форме. Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращения.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Любая линейно независимая система векторов a_1,a_2,\dots,a_p из \,V определяет ненулевой р-вектор a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p; такие поливектора называется разложимыми, или простыми.
  • Линейно независимые системы a_1,a_2,\dots,a_p и b_1,b_2,\dots,b_p порождают одно и то же подпространство в V в том и только в том случае, когда
        a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots\wedge b_p.
  • Для любого ненулевого поливектора t \in \bigwedge\nolimits^p V его аннулятор \operatorname{Ann}  t= \{v\in V|t\wedge v=0\} есть подпространство размерности \le p, причём поливектор t разложим тогда и только тогда, когда \dim \operatorname{Ann}  t=p.
  • Разложимые р-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в \Lambda^p(V) соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана.
  • Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
  • Бивектор t разложим тогда и только тогда, когда t\wedge t=0.
  • Если фиксировать ненулевой n-вектор \omega \in \bigwedge\nolimits^n(V), то возникает естественный изоморфизм
    \pi: \bigwedge\nolimits^p (V) \to \bigwedge\nolimits^{n-p} (V)
такой, что t\wedge u=\langle\pi(t),u\rangle \omega для всех u \in \bigwedge\nolimits^{n-p}(V)

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]