Грассманиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств (обозначается ). В частности,  — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство[править | править вики-текст]

Грассманиан можно наделить следующим атласом.

Пусть -мерное подпространство . Введём в векторном пространстве скалярное произведение и обозначим через ортогональное дополнение .

Так как , то любое -мерное подпространство , достаточно близкое к , можно отождествить с линейным отображением , если представить каждый вектор в виде суммы , где и , и положить .

Тогда окрестность точки взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений . Построенный атлас делает аналитическим многообразием размерности , где .

Для того, чтобы показать, что является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Грассманиан является проективным алгебраическим многообразием размерности , где . Соответственно, если  — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
  • Грассмановым конусом порядка называется множество разложимых элементов внешней степени , то есть -форм, представимых в виде произведения 1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка совпадает с .
  • В силу естественного изоморфизма -форм и -форм, грассмановы многообразия порядка и совпадают.
Аналогично, компллексный грассманиан соответствует унитарной группе.
.
Эти соотношения означают, что линейное подпространство евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые векторов которого образуют базис в . Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом , так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение[править | править вики-текст]

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис . Заданному k-мерному подпространству сопоставим набор чисел (символ Шуберта) по правилу

Здесь  — подпространство, натянутое на первые векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями гомеоморфно клетке, размерность которой равна . Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

Здесь  — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности .

Обобщения[править | править вики-текст]

  • Многообразие всех ортонормированных k-реперов в называется многообразием Штифеля . Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:
В частности, , .

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.