Полилинейная алгебра

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основные определения

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное ($n$-линейное) отображение:

$f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow W$,

где $V_{1},\dots ,V_{n}$ и $W$ – векторные пространства над определённым полем $K$. Условие $n$-линейности означает, строго говоря, что для каждого $i=1,\dots ,n$ семейство отображений

$(\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}:V_{k}\rightarrow W;\quad (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}(x_{i})=f(x_{1},\dots ,x_{n})$,

зависящее от $n-1$ переменных $\{x_{k}|k\neq i\}$ как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить $n$-линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из $V_{n}$ в векторное пространство $(n-1)$-линейных отображений.

• 2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если $W$ совпадает с полем $K,$ то отображение называется полилинейной формой.

• Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
• Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
• Теорема: для каждого $n>1$ существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля $K$) кососимметричная $n$-линейная форма $f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow K$. Это — определитель матрицы, составленной из векторов $V_{1},\dots ,V_{n}$.

• Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами.

Квадратичные и билинейные формы

Основная статья: Билинейная форма

Основная статья: Квадратичная форма

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от $n$ переменных ($n$ — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица $n\times n$, которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}$,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается $[a_{1},\dots ,a_{n}]$ как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга $(2,0)$). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма $B$ может быть представлена квадратичной:

$Q_{b}(x)=B(x,y)+B(y,x)$

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом.

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных $(B(x,y)=B(y,x))$ и кососимметричных $(B(x,y)=-B(y,x))$ билинейных форм.

Другие примеры

Формализма

• Тензорное исчисление
• Алгебра Клиффорда

Объектов

• Поливектор
• Грассманиан

Операций

• Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Литература

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.