Поличисла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра поличисел реализуется элементами вида:

где  — набор образующих , подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

итак (прямая сумма):

Поличисла (n-числа)[править | править код]

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

.

На алгебре существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

,

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла . k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

( — раз)

Очевидно, что .

Рассмотрим поличисло вида

 (1)

где .

Нетрудно проверить, что вещественно в том смысле, что

где .

Число называется (квази)нормой поличисла . Квазинорма выражается через координаты поличисла по формуле :

,       (2)

где  — n-форма

,             (3)

 — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой , являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

,

где , можно рассмотреть n-линейную форму

      (4)

Здесь суммирование производится по множеству всех перестановок элементов . Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел является прямой суммой экземпляров алгебры вещественных чисел . Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра представляющая собой прямую сумму экземпляров алгебры вещественных чисел и экземпляров алгебры комплексных чисел [1].

Примечания[править | править код]

  1. Г. И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, М.: Тетру, 2009.

Литература[править | править код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
  • М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
  • Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
  • С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121