Поле (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

По́ле в общей алгебре — алгебра, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля[⇨].

История[править | править вики-текст]

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения[править | править вики-текст]

Алгебра над множеством , образующая коммутативную группу по сложению над с нейтральным элементом и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения и умножения (, т. е. ) называется полем , если выполнены следующие аксиомы:

  1. Коммутативность сложения: .
  2. Ассоциативность сложения: .
  3. Существование нулевого элемента: .
  4. Существование противоположного элемента: .
  5. Коммутативность умножения: .
  6. Ассоциативность умножения: .
  7. Существование единичного элемента: .
  8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: .
  9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: .

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению над , аксимомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению над , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение , такое что , и . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю:

Если такого числа не существует, то характеристика равна по определению. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Характеристика поля всегда или простое число.
    • Поле характеристики содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .
    • Поле простой характеристики содержит подполе, изоморфное полю вычетов .
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно  — степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
  • В поле нет делителей нуля.
  • Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля изоморфна .
  • С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если в идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полей[править | править вики-текст]

  •  — рациональные числа,
  •  — вещественные числа,
  •  — комплексные числа,
  • алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле ).
  • Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в .
  •  — поле вычетов по модулю , где  — простое число.
  •  — конечное поле из элементов, где  — простое число,  — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.
  •  — поле рациональных функций вида , где и  — многочлены над некоторым полем (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3. Chapter VII.
  • Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». Bulletin des Sciences mathématiques XIII: 428.
  • Поле (алгебра) — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин