Полное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полное пространствометрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение[править | править исходный текст]

Всякое метрическое пространство X=(X,\rho) можно вложить в полное пространство Y таким образом, что метрика Y продолжает метрику X, а подпространство X всюду плотно в Y. Такое пространство Y называется пополнением X и обычно обозначается \bar X.

Построение[править | править исходный текст]

Для метрического пространства X=(X,\rho), на множестве фундаментальных последовательностей в X можно ввести отношение эквивалентности

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Множество классов эквивалентности \bar X с метрикой, определённой

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

является метрическим пространством. Само пространство (X,\rho) изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in X соответствует класс постоянной последовательности x_n=x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho) и будет пополнением X.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического M пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Критерий компактности метрического пространства (критерий Хаусдорфа): метрическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого \varepsilon>0 пространство X можно покрыть конечным числом шаров радиуса \varepsilon.
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
  • Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика. Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая топологическая полнота).

Примеры[править | править исходный текст]

Полные пространства[править | править исходный текст]

  • Множество вещественных (действительных) чисел \mathbb{R} полно в стандартной метрике d(x, y) = |x - y|.
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
  • Свойство полноты является обязательным в определении банахового пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные пространства[править | править исходный текст]

  • Рациональные числа \mathbb{Q} со стандартным расстоянием d(x,y)=|x-y| являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел \mathbb{R}.
  • Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел \mathbb Q_p.
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике  d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Если X имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература[править | править исходный текст]

  • Зорич В.А. "Математический анализ", т.2, гл.IX, §5.