Примитивный многочлен (алгебра)

В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен $f(x)\in R[x]$ , где $R$ — ассоциативно-коммутативное кольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен $g(x)\in R[x]$ можно записать в виде $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$ , где $f(x)$ — примитивный многочлен, a $c_{g}$ — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена $g(x)$ . Элемент $c_{g}\in R$ , определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена $g(x)$ .

Лемма Гаусса[править | править код]

Если $g_{1}(x),g_{2}(x)\in R[x]$ , то $c_{g_{1}g_{2}}=c_{g_{1}}c_{g_{2}}$ . В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.

Доказательство[править | править код]

Сначала докажем, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Для этого достаточно проверить, что если простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$ , то он является общим делителем всех коэффициентов многочлена $f(x)$ или общим делителем всех коэффициентов многочлена $g(x)$ . Пусть $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ , $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$ , $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ — степени этих многочленов. Проведем индукцию по $m+n$ . Если $m+n=0$ , то $m=0$ и $n=0$ , $f(x)=a_{0},g(x)=b_{0}$ . Если $p$ делит $a_{0}b_{0}$ , то так как кольцо $R$ факториально, $p$ делит $a_{0}$ или $p$ делит $b_{0}$ , то есть в этом случае утверждение верно. В общем случае $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{m}x^{n+m}$ . Предположим, что некоторый простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$ . Так как $p\mid a_{n}b_{m}$ и кольцо $R$ факториально, то $p\mid a_{n}$ или $p\mid b_{m}$ . Пусть для определенности $p\mid a_{n}$ . Если $n=0$ , то $p$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)$ . Если же $n>0$ , то заметим, что $p$ будет и общим делителем всех коэффициентов многочлена $f_{1}(x)g(x)$ , где $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}$ . Действительно, все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ делятся на $a_{n}$ , а значит, и на $p$ . По предположению индукции $p$ делит все коэффициенты многочлена $f_{1}(x)$ или все коэффициенты многочлена $g(x)$ . В первом случае $p$ делит также и все коэффициенты многочлена $f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n}$ . По принципу математической индукции утверждение доказано для всех значений $m$ и $n$

Докажем, что $c_{f}c_{f}=c_{fg}$ . Пусть $f=c_{f}f_{0}$ , $g=c_{g}g_{0}$ , где $f_{0}$ , $g_{0}$ — примитивные многочлены. Тогда $fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0}$ . Так как многочлен $f_{0}g_{0}$ по доказанному примитивен, то $c_{fg}=c_{f}c_{g}$ . Лемма доказана.