Многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График многочлена 7 степени.

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- – много + лат. nomen – имя) от переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

, где
  •  — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  •  — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

, где

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Изучение и применение[править | править вики-текст]

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Многочлен вида называется одночленом или мономом мультииндекса .
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число .
  • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением .
  • Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
  • Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом без делителей нуля) которое обозначается

Полиномиальные функции[править | править вики-текст]

Пусть есть алгебра над кольцом . Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию

.

Чаще всего рассматривают случай .

В случае, если есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .

Виды многочленов[править | править вики-текст]

  • Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым[en]*, если его старший коэффициент равен единице.
  • Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
    • Например  — однородный многочлен двух переменных, а не является однородным.
  • Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства[править | править вики-текст]

Делимость[править | править вики-текст]

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение мнгогочленов делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого существуют многочлены от переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
  • Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
  • Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
  • Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки[править | править вики-текст]