Производная Гато

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произво́дная Гато́ расширяет концепцию производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Рёнэ́ Гато́ (фр. René Eugène Gâteaux).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X и Y - нормированные пространства над полем \R, а F — отображение, действующее из X в Y.

Если для некоторого x \in X и некоторого h \in X существует предел (сходимость понимается по норме пространства Y)

dF(x,\;h)=\left.{d\over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert_{t=0}=\lim_{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x)\over t},

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения F в точке x (на приращении h).

Отображение dF(x,\;h) также называют первой вариацией отображения F в точке x (на приращении h).

(Однородность) Если \exist dF(x,\; h), то для \forall k\in \R будет \exist dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по h.

Если линейность имеет место, т.е.

dF(x,\; h)=F\;'(x) \circ h,

где F\;'(x) - ограниченный линейный оператор, то F\;'(x) называется слабой производной (или производной Гато) отображения F в точке x.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.