Производные Виртингера

Производные Виртингера (операторы Виртингера, формальные комплексные частные производные) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: ${\frac {\partial }{\partial z}}$ и ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$. Для комплексной функции одной переменной $f(z)$ определяются выражениями

${\frac {\partial f}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$,

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$.

Для комплексной функции нескольких переменных $f(z_{1},\ldots ,z_{n})$ производные Виртингера определяются выражениями

${\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)$,

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)$.

Оператор ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-Римана. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных Виртингера.

Связь с вещественной дифференцируемостью

Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию $f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$. Её дифференциал представляется в виде

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$.

Обозначим $dz=dx+i\,dy$, $d{\bar {z}}=dx-i\,dy$. Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим

$df={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dz+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)d{\bar {z}}$.

Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем

$df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}$.

Представление дифференциала в виде $df=p\,dx+q\,dy$ называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде $df=a\,dz+b\,d{\bar {z}}$ — представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде $df=a_{1}\,dz_{1}+b_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,dz_{n}+b_{n}\,d{\bar {z}}_{n}$. Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:

$df={\frac {\partial f}{\partial z_{1}}}dz_{1}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{1}}}d{\bar {z}}_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}dz_{n}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{n}}}d{\bar {z}}_{n}$.

Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Связь с условиями Коши-Римана

Функция $f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид

$df=a\,dz$.

Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$. Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ эквивалентно условиям Коши-Римана:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}},\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}},\end{cases}}$

где $u(x,y)=\operatorname {Re} f(z)$, $v(x,y)=\operatorname {Im} f(z)$. Из этого становится понятным, почему ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:

${\frac {\partial {f}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n$.

Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция $f$ антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и

${\frac {\partial {f}}{\partial z}}=0$ (для функции многих переменных ${\frac {\partial {f}}{\partial z_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n$).

Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде $df=a\,d{\bar {z}}$ (или $df=a_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,d{\bar {z}}_{n}$ для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

См. также

• Моногенная функция
• Условия Коши-Римана
• Дифференциал (математика)

Литература

• Чиа-чи Тун. О производных Виртингера и операторе, сопряженном к ${\bar {\partial }}$, а также об их приложениях (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая : журнал. — 2018. — Т. 82, вып. 6. — С. 172–199.
• Are Hjorungnes, David Gesbert. Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing : журнал. — 2007. — July (vol. 55, iss. 6). — P. 2740–2746.
• Joel H. Shapiro. Introduction to the Cauchy-Riemann operator (англ.) (pdf). Joel H. Shapiro Lecture Notes (26 апреля 2021). Дата обращения: 13 июля 2022.
• Н. С. Иманбаев. Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши–Римана с нелокальными краевыми условиями (рус.) // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» : журнал. — 2014. — Т. 1, вып. 34. — С. 25-36.