Пучок матриц

Пучок матриц — функция $L(\lambda )$ от комплексного аргумента, возвращающая для заданного набора ненулевых матриц $A_{0},A_{1},\dots ,A_{l}$ комбинацию:

$L(\lambda )=\sum _{i=0}^{l}\lambda ^{i}A_{i}$.

($l$ называется степенью пучка).

Частным случаем является линейный пучок матриц $A-\lambda B\,$ с $\lambda \in \mathbb {C}$ (или $\lambda \in \mathbb {R}$), где матрицы $A$ и $B$ являются комплексными (или вещественными) $n\times n$-матрицами. Такой пучок кратко обозначается $(A,B)$.

Пучок называется регулярным, если имеется по меньшей мере одно значение $\lambda$, для которого $\det(A-\lambda B)\neq 0$. Собственные значения пучка матриц $(A,B)$ называются все комплексные числа $\lambda$, для которых $\det(A-\lambda B)=0$ (по аналогии с собственными значениями матриц). Множество собственных значений называется спектром пучка и записывается как $\sigma (A,B)$. Также считается, что пучок имеет (одно или более) собственное значение на бесконечности, если $B$ имеет (одно или более) нулевых собственных значений.

Если две матрицы коммутируют ($AB=BA$), то образованный ими пучок удовлетворяет одному из следующих условий:

• состоит только из матриц, подобных диагональной,
• не имеет матриц, подобных диагональной,
• имеет в точности одну матрицу, подобную диагональной.

Пучки матриц играют важную роль в численных методах линейной алгебры. Задача нахождения собственных пучков называется обобщённой задачей нахождения собственных значений. Наиболее распространённым методом решения этой задачи является QZ-алгоритм, который является неявной версией QR-алгоритма для решения связанной задачи собственных значений $B^{-1}Ax=\lambda x$ без явного формирования матрицы $B^{-1}A$ (что может быть невозможно или плохо обусловлено, если $B$ вырождена или почти вырождена).

Литература

• Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
• Marvin Marcus, Henryk Minc. A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover Publications, 1969. — ISBN 0-486-67102-X.