Регулярные тепловые режимы

Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T₀. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды T_f = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:

${\partial \Theta \over \partial Fo}=\nabla ^{2}\Theta$ , где

• ${\mathit {\Theta }}={\frac {T-T_{f}}{T_{0}-T_{f}}}$ — безразмерная температура
• T = текущая температура тела
• T_f = температура среды
• T₀ = начальная температура тела
• Fo = Число Фурье

Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:

$\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\phi _{n}exp(-m_{n}Fo)$,

где $\phi _{n}=\phi _{n}({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}},Bi)$ (где Bi — число Био), а $A_{n}$ зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены $m_{1},m_{2}...m_{n}$ убывают во времени, причём с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:

$\Theta =A_{1}\phi exp(-m_{1}Fo)$.

Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды T_f во времени различают регулярные режимы трёх родов.

Регулярный режим первого рода

Рассмотренное выше условие T_f=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:

$T-T_{f}=C_{1}\nu exp(-m\tau )$, $C_{1}=const$, $\nu =\nu (x,y,z)$,

где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:

$m=-{\partial ln(T-T_{f}) \over \partial \tau }=-{\frac {\alpha F}{\rho cV}}$, где

• F — площадь поверхности тела
• α — коэффициент теплоотдачи
• ρ — плотность тела
• c — теплоёмкость тела.

Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:

$m=-{\partial ln(T-T_{f}) \over \partial \tau }=-\psi {\frac {\alpha F}{\rho cV}}$.

Регулярный режим второго рода

Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:

${\partial T \over \partial \tau }={\partial T_{f} \over \partial \tau }=b$

Регулярный режим третьего рода

Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.

$T_{f}=T_{f0}+Acos(\omega \tau )$

Температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:

$T=Psin(\omega \tau )+Qcos(\omega \tau )=T_{0}+Bcos(\omega \tau -\phi )$

где φ, T₀, P, Q, B — функции координат. (Эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)

См. также

• Теплопередача
• Конвекция