Система линейных дифференциальных уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является линейной относительно всех искомых функций и их производных всех порядков. Такую систему можно преобразовать к линейной системе первого порядка канонического вида, которую обычно и определяют, как СЛДУ.

Определение

[править | править код]

Если в системе дифференциальных уравнений имеется производная , то можно добавить новую искомую функцию , определяемую новым линейным уравнением . Заменой в остальных уравнениях производная исключается из системы. Последовательное выполнение этих операций для линейной системы приводит к линейной системе первого порядка. В линейной системе каждую производную можно подстановкой исключить из всех уравнений кроме одного. Поэтому систему линейных дифференциальных уравнений обычно определяют, как систему вида [1]

Линейное дифференциальное уравнение

[править | править код]

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка

,

то описанным выше способом его можно преобразовать в систему уравнений следующего вида

Решение СЛДУ

[править | править код]

Общее решение однородной СЛДУ, получаемой приравниванием всех к нулю даётся формулами

где — линейно независимые частные решения однородной системы, то есть такие, что определитель хотя бы в одной точке. В случае постоянных коэффициентов частные решения однородной системы следует искать в виде

где — неопределённые коэффициенты, — корни характеристического уравнения

и — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных случаев производится методами линейной алгебры. Для решения СЛДУ с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Примечания

[править | править код]
  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 316.

Литература

[править | править код]
  • Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М.,1966
  • Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.