Систола поверхности

Систолические неравенства для кривых на поверхностях первым изучал Чарльз Лёвнер в 1949 году (не опубликовано; см. примечание в конце статьи Пу 1952 года). Если дана замкнутая поверхность, её систола, обозначаемая как sys, определяется как петля наименьшей длины, которая не может быть стянута в точку на поверхности. Систолическая площадь метрики определяется как отношение площади и sys². Систолическое отношение SR (от английского Systolic Ratio) равно обратной величине, то есть sys²/площадь. См. также статью Введение в систолическую геометрию.

Тор

Кратчайшая петля на торе

В 1949 году Лёвнер доказал неравенство для метрик на торе T², а именно, что систолическое отношение SR(T²) ограничено сверху величиной $2/{\sqrt {3}}$, с равенством на плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Шестиугольная решётка).

Вещественная проективная плоскость

Похожий результат даёт неравенство Пу для вещественной проективной плоскости, полученный в 1952 году Пу Баомином с верхней границей $\pi /2$ для систолического отношения SR(RP²), которое также превращается в равенство в случае постоянной кривизны.

Бутылка Кляйна

Стеклянная бутылка Клейна ручной работы (эмуляция)

Для бутылки Кляйна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу $\pi /{\sqrt {8}}$ для систолического отношения:

$\mathrm {SR} (K)\leqslant {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},$

на основе работы Блаттера 1960-х годов.

Род 2

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера $\mathrm {SR} (2)\leqslant {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ (см. статью Катца и Сабуру). Неизвестно, удовлетворяет ли любая поверхность с положительным родом границе Лёвнера. Есть гипотеза, что все они удовлетворяют. Ответ положителен для рода 20 и выше.

Произвольный род

Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR(g) ограничено сверху константой 2. Тремя годами позже Михаил Громов нашёл верхнюю границу SR(g) с точностью до постоянного множителя

${\frac {(\log g)^{2}}{g}}.$

Похожая нижняя граница (с аналогичной константой) получена Бузером и Сарнаком, а именно: они привели арифметические гиперболические римановы поверхности с систолами, дающими $\log(g)$ с точностью до постоянного множителя. Заметим, что площадь равна $4\pi (g-1)$ по теореме Гаусса — Бонне, так что SR(g) ведёт себя с точностью до постоянного множителя как ${\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}$.

Изучение для большого рода $g$ асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей раскрывает несколько интересных констант. Так, поверхности Гурвица $\Sigma _{g}$, определённые башней главных конгруэнцподгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют границе

$\mathrm {sys} (\Sigma _{g})\geqslant {\frac {4}{3}}\log g,$

которая получается из анализа порядка кватернионов Гурвица. Похожая граница выполняется для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года Михаила Гершевича Каца, Мэри Шапс и Узи Вишне улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера 1994 года для случая арифметических групп, определённых над $\mathbb {Q}$, которое содержало ненулевую аддитивную постоянную. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнтности систолическое отношение SR(g) асимптотически стремится к

${\frac {4}{9\pi }}{\frac {(\log g)^{2}}{g}}.$

При использовании неравенства энтропии Катока была найдена следующая асимптотическая верхняя граница для SR(g):

${\frac {(\log g)^{2}}{\pi g}},$

см. также статью Катца. Комбинируя две оценки, получаем жёсткие границы систолического отношения поверхностей.

Сфера

Имеется также версия неравенства для метрик на сфере для инварианта L, определённого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов высказал гипотезу, что для отношения площадь/L² нижней границей является ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$. Нижняя граница в 1/961, полученная Кроке в 1988 году была недавно улучшена Набутовским, Ротман и Сабуру.

См. также

• Дифференциальная геометрия поверхностей

Литература

• Bavard C. Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein // Math. Ann.. — 1986. — Т. 274, вып. 3. — С. 439–441. — doi:10.1007/BF01457227.
• Buser P., Sarnak P. On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane) // Inventiones Mathematicae. — 1994. — Т. 117, вып. 1. — С. 27–56. — doi:10.1007/BF01232233. — .
• Gromov M. Filling Riemannian manifolds // J. Diff. Geom.. — 1983. — Т. 18, вып. 1. — С. 1–147. — doi:10.4310/jdg/1214509283.
• Hebda J. Some lower bounds for the area of surfaces // Invent. Math.. — 1981/82. — Т. 65, вып. 3. — С. 485–490. — doi:10.1007/BF01396632. — .
• Mikhail G. Katz. Systolic geometry and topology. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2007. — Т. 137. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-4177-8.
• Katz M., Sabourau S. Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds // Ergo. Th. Dynam. Sys.. — 2005. — Т. 25, вып. 4. — С. 1209–1220. — doi:10.1017/S0143385704001014. — arXiv:math/0410312.
• Katz M., Sabourau S. Hyperelliptic surfaces are Loewner // Proc. Amer. Math. Soc.. — 2006. — Т. 134, вып. 4. — С. 1189–1195. — doi:10.1090/S0002-9939-05-08057-3. — arXiv:math.DG/0407009.
• Katz M., Schaps M., Vishne U. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom.. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399–422. — doi:10.4310/jdg/1180135693. — arXiv:math.DG/0505007.
• Pu P. M. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds // Pacific J. Math.. — 1952. — Т. 2. — С. 55–71. — doi:10.2140/pjm.1952.2.55.