Бутылка Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство

Бутылка Клейна (или Кляйна) — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от схожести написания слов нем. Fläche (поверхность) и нем. Flasche (бутылка).

История[править | править вики-текст]

Первое описание бутылки Клейна появилось в монографии Ф. Клейна «О теории Римана алгебраических функций и их интегралов», вышедшей в 1882 году. В ней Клейн так описывает эту поверхность[1][2]:

О ней можно составить себе представление, если вывернуть кусок каучуковой трубки и заставить его пересечься с самим собой таким образом, чтобы при соединении его концов его внешняя сторона соединилась бы с внутренней.

Описание[править | править вики-текст]

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата , отождествляя точки при и при , как показано на первой диаграмме. Следующие диаграммы показывают как эта топология погружается в бутылочную форму 3D.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
  • Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство , но вкладывается в .
  • Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
  • Хроматическое число поверхности равно 6.

Рассечения[править | править вики-текст]

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмёрки

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображённая справа (необходимо помнить, что изображённого пересечения на самом деле нет).

Параметризация[править | править вики-текст]

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа равна радиусу круга. Параметр задаёт угол на плоскости XY и обозначает положение около 8-образного сечения.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Klein, Felix. Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. — Leipzig, 1882. — P. 80.
  2. «Бутылка Клейна» // Математика XIX века: Геометрия. Теория аналитических функций / Б. Л. Лаптев и др.; редакторы: А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. — М.: Наука, 1981. — С. 104. — 5000 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]