Бутылка Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство

Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата , отождествляя точки при и при , как показано на первой диаграмме. Следующие диаграммы показывают как эта топология погружается в бутылочную форму 3D.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
  • Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство , но вкладывается в .
  • Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
  • Хроматическое число поверхности равно 6.

Рассечения[править | править вики-текст]

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Параметризация[править | править вики-текст]

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа равна радиусу круга. Параметр задаёт угол на плоскости XY и обозначает положение около 8-образного сечения.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]