Слабая сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Определение[править | править код]

Пусть топологическое поле, топологическое векторное пространство над полем и сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на . Тогда слабой топологией пространства называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства; её предбазой является множество

Последовательность элементов слабо сходится к элементу , если для любого непрерывного линейного функционала последовательность чисел сходится к . При этом сходимость в пространстве , определяемая его исходной топологией, называется сильной.

Слабой* топологией в называют топологию, предбазой которой является множество

Свойства[править | править код]

  • Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
  • В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильной и слабой сходимости совпадают.
  • В случае, когда нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов является ограниченной, то есть для некоторого положительного числа . Последовательность элементов слабо сходится к элементу , если она является ограниченной и сходится к для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства , линейная оболочка которого всюду плотна в .
  • Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки. Замкнутый единичный шар пространства компактен в слабой* топологии пространства .
  • Теорема Эберлейна — Шмульяна. Подмножество банахова пространства слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.

Пример[править | править код]

Пусть пространство непрерывных функций на отрезке с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций слабо сходится к функции тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть при всех для некоторого положительного числа , и 2) сходится к поточечно, то есть числовая последовательность сходится к для любого .

Литература[править | править код]