Линейная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лине́йная форма, лине́йный функционал (также используются термины 1-форма, ковектор, ковариантный вектор) — линейное отображение, действующее из векторного пространства над полем в поле . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

для любых двух векторов и любого . Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: , рассматриваемых над одним и тем же полем . Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство .

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. С алгебраической точки зрения линейная форма представляет собой частный случай более общего понятия k-формы при k=1.

Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля чаще всего используются поля или .

Примеры[править | править код]

Примеры линейных форм для конечномерных векторных пространств:

  • Простейшим примером линейной формы является линейная однородная функция одного вещественного или комплексного переменного:
Более того, в случае любого конечномерного пространства все линейные формы на нём имеют вид . Это позволяет отождествить каждую линейную форму с вектором , причем указанное соответствие взаимно однозначно.

Примеры линейных функционалов для функциональных пространств:

  • Пусть пространство состоит из функций , непрерывных на множестве . Тогда для любых выражения и задают линейные функционалы на .
  • Пусть пространство состоит из функций , n раз непрерывно дифференцируемых на множестве . Выражение
задает линейный функционал на .
  • Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение вектора-аргумента и некоторого фиксированного вектора : . В функциональном анализе часто рассматриваются векторные пространства, состоящие из интегрируемых функций, а скалярное произведение задается с помощью интеграла (обычно используется интеграл Лебега). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид
.
Такие линейные функционалы используются, например, при определении преобразования Фурье.
  • Пусть — линейный оператор, отображающие в себя векторное пространство , которое состоит из функций, интегрируемых на некотором множестве . Тогда выражение
.
задает линейный функционал на пространстве . Примеры таких линейных функционалов:
,
,
.

Свойства[править | править код]

  • Множество всех линейных форм на векторном пространстве само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля . Это пространство называется сопряженным к и обозначается [1]. Векторы сопряжённого пространства принято называть ковекторами. В квантовой механике также принято использовать термины бра-векторы и кет-векторы для обозначения векторов исходного пространства и ковекторов.
  • Если размерность (конечна), то при выборе в пространстве некоторого базиса любая линейная форма записывается в виде , где вектор и набор коэффициентов однозначно определяет данную форму. Форма задается набором своим координат в некотором базисе сопряжённого пространства , который называется взаимным или двойственным к базису . Тем самым, [2].
  • Если размерность конечна, то изоморфно , однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство естественно отождествляется с исходным пространством [3]. В бесконечномерном случае условие, что пространство изоморфно , весьма нетривиально, такие пространства называют рефлексивными[4].
  • Ядро линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является гиперплоскостью в . В частности, при ядро линейной формы , где , — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты суть координаты нормального вектора плоскости.

Связанные понятия[править | править код]

  • При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют непрерывные линейные функционалы, иначе называемые обобщёнными функциями. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов не непрерывны при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на сепарабельных пространствах — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
.
В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 3.7. — М.: Физматлит, 2009.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 131. — М.: Физматлит, 2009.
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 132. — М.: Физматлит, 2009.
  4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.