Устойчивость (динамические системы): различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
мНет описания правки |
|||
Строка 53: | Строка 53: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]] |
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]] |
||
* [[Теория бифуркаций]] |
|||
* [[Теория катастроф]] |
|||
* [[Теория хаоса]] |
|||
* [[Нелинейная система]] |
|||
* [[Центральное многообразие]] |
|||
* [[Нелинейная динамика]] |
|||
* [[Динамическая система]] |
|||
* [[Статистическая модель]] |
|||
* [[Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера]] |
|||
== Литература == |
== Литература == |
Версия от 16:24, 20 марта 2020
Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. |
В этой статье отсутствует преамбула. |
В математике решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.
Постановка задачи устойчивости динамических систем
Пусть — область пространства , содержащая начало координат, , где . Рассмотрим систему (1) вида:
((1)) |
При любых существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале , причём .
Устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству .
Символически это записывается так:
Равномерная устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:
Неустойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:
Асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.
Эквиасимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
Асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
В автоматике асимптотическая устойчивость характеризует состояние покоя. Таковым оно является, если каждая траектория, начинающаяся в некоторой области стремится к началу координат, когда время неограничено возрастает.
Равномерная асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
См. также
- Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
- Теория бифуркаций
- Теория катастроф
- Теория хаоса
- Нелинейная система
- Центральное многообразие
- Нелинейная динамика
- Динамическая система
- Статистическая модель
- Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера
Литература
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
- Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
- Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.