Устойчивость (динамические системы): различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Метка: отмена |
Bezik (обсуждение | вклад) м откат правок Dobrode valera (обс.) к версии Bezik Метка: откат |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
{{стиль}}{{нет преамбулы}}<!-- нет явной дефиниции--> |
{{стиль}}{{нет преамбулы}}<!-- нет явной дефиниции--> |
||
В [[математика|математике]] решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции. |
В [[математика|математике]] решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции. |
||
[[Файл:4979e03f8a70f821bf51b7ef08bdc437-1000.jpg|мини|[[Ляпунов, Александр Михайлович]] - создатель теории устойчивости]] |
|||
== Постановка задачи устойчивости [[Динамическая система|динамических систем]] == |
== Постановка задачи устойчивости [[Динамическая система|динамических систем]] == |
||
Строка 14: | Строка 13: | ||
\right. |
\right. |
||
</math>|(1)}} |
</math>|(1)}} |
||
[[Файл:Adolf-Hurwitz responsive 1408.jpg|мини|[[Гурвиц, Адольф]] - разработчик критерия гурвица]] |
|||
При любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системы (1), удовлетворяющее начальным условиям ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будем предполагать, что решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' определено на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>J^+ \subset I</math>. |
При любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системы (1), удовлетворяющее начальным условиям ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будем предполагать, что решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' определено на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>J^+ \subset I</math>. |
||
[[Файл:Bellman-richard-545.jpg|мини|[[Беллман, Ричард]] - разработчик численных методов теории устойчивости]] |
|||
== Устойчивость по Ляпунову == |
== Устойчивость по Ляпунову == |
||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется устойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунов]]у, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ''ε'' и ''t<sub>0</sub>'' и не зависящее от ''t'', такое, что для всякого ''x<sub>0</sub>'', для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение ''x'' системы с начальными условиями x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> продолжается на всю полуось t > t<sub>0</sub> и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется устойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунов]]у, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ''ε'' и ''t<sub>0</sub>'' и не зависящее от ''t'', такое, что для всякого ''x<sub>0</sub>'', для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение ''x'' системы с начальными условиями x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> продолжается на всю полуось t > t<sub>0</sub> и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
||
Строка 23: | Строка 22: | ||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
[[Файл:111listen.nyq.jpg|мини|[[Найквист, Гарри]] - разработчик критерия найквиста]] |
|||
== Равномерная устойчивость по Ляпунову == |
== Равномерная устойчивость по Ляпунову == |
||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε: |
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε: |
||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
[[Файл:VI Arnold-02.jpg|мини|[[Арнольд, Владимир Игоревич]] - разработчик теории устойчивости и бифуркаций]] |
|||
== Неустойчивость по Ляпунову == |
== Неустойчивость по Ляпунову == |
||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если: |
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если: |
||
Строка 53: | Строка 52: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]] |
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]] |
||
* [[Теория бифуркаций]] |
|||
* [[Теория катастроф]] |
|||
* [[Теория хаоса]] |
|||
* [[Нелинейная система]] |
|||
* [[Центральное многообразие]] |
|||
* [[Нелинейная динамика]] |
|||
* [[Динамическая система]] |
|||
* [[Статистическая модель]] |
|||
* [[Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера]] |
|||
== Литература == |
== Литература == |
Версия от 17:56, 20 марта 2020
Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. |
В этой статье отсутствует преамбула. |
В математике решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.
Постановка задачи устойчивости динамических систем
Пусть — область пространства , содержащая начало координат, , где . Рассмотрим систему (1) вида:
((1)) |
При любых существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале , причём .
Устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству .
Символически это записывается так:
Равномерная устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:
Неустойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:
Асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.
Эквиасимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
Асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
В автоматике асимптотическая устойчивость характеризует состояние покоя. Таковым оно является, если каждая траектория, начинающаяся в некоторой области стремится к началу координат, когда время неограничено возрастает.
Равномерная асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
См. также
Литература
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
- Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
- Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.