Пусть — гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
- — алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в
- — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими
Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра
а её размерность называется кратностью отображения в точке
Шаблон:/рамка
В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной.
Удобно также положить в случае некритической точки.
Случай
В этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Значение соответствует некритической точке.
Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е.
Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид
Теорема деления
Пусть — гладкая функция от переменной , имеющая точку своей критической точкой кратности по переменной , т.е.
Тогда в окрестности точки функция представима в виде
где и — гладкие функции своих аргументов, не обращается в нуль и для всех
.
Шаблон:/рамка
Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных[1]
(теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.
См. также
Литература
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
- Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
- Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
- Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
- Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
- Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.
- Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
Примечания
- ↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.
|
|