Алгебра над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль над кольцом , в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом ) определено произведение согласно равенству называется алгеброй над или -алгеброй.

Согласно определению для всех и справедливы соотношения:

  1. , где  — единица кольца

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для , коммутатор определён равенством . -алгебра называется коммутативной, если .

Для ассоциатор определён равенством . -алгебра называется ассоциативной, если .

Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия требуют более слабое: .

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение (где  — целое число) обычно, то есть как сумму копий . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения выбрать полилинейное отображение и определить произведение согласно правилу: , то полученная алгебраическая структура называется -алгеброй.

Свободная алгебра[править | править вики-текст]

Если алгебра над коммутативным кольцом является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом . Если алгебра имеет конечный базис, то алгебра называется конечномерной.

Если является полем, то, по определению, -алгебра является векторным пространством над , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают . Если алгебра имеет единицу , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

.

А именно, если , , то произведение можно представить в виде:

.

Величины называются структурными константами алгебры .

Если алгебра коммутативна, то:

.

Если алгебра ассоциативна, то:

.

Свойства[править | править вики-текст]

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над .

Отображение алгебры[править | править вики-текст]

Возможно рассматривать алгебру над коммутативным кольцом как модуль над коммутативным кольцом . Отображение алгебры над коммутативным кольцом в алгебру над кольцом называется линейным, если:

,
.

для любых , , . Множество линейных отображений алгебры в алгебру обозначается символом .

Линейное отображение алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если для любых , а также выполнено условие: если алгебры и имеют единицу, то:

.

Множество гомоморфизмов алгебры в алгебру обозначается символом .

Очевидно, что .

Примеры[править | править вики-текст]

Общие:

Алгебры над полем вещественных чисел:

Литература[править | править вики-текст]

  • Скорняков Л. А., Шестаков И. П.  Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.