Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tretyak (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Значения|Кратность}} |
{{Значения|Кратность}} |
||
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] |
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] <math>C^{\infty}</math>-гладкой функции <math>f: \R^n\to\R</math> — [[размерность]] так называемой '''локальной алгебры градиентного отображения'''. |
||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
||
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
||
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
||
'''Локальной алгеброй''' градиентного отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра|факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},</math> |
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{\nabla f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' градиентного отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра|факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}</math> называется '''кратностью''' функции <math>f</math> в точке <math>O.</math> |
||
а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math> |
|||
{{/рамка}} |
{{/рамка}} |
||
Строка 47: | Строка 46: | ||
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref> |
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref> |
||
(теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''. |
(теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''. |
||
== Критические точки отображений == |
|||
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] <math>C^{\infty}</math>-гладкого отображения <math>f: \R^n\to\R^n</math>, где <math>n>1</math>, — это [[размерность]] '''локальной алгебры''' данного отображения. |
|||
{{рамка}} |
|||
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>\,f</math> задается набором <math>n</math> гладких функций |
|||
<math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>. |
|||
Введем следующие обозначения: |
|||
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
|||
* <math>I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>f_1, \ldots, f_n.</math> |
|||
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>\,I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра|факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math> |
|||
{{/рамка}} |
|||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 11:21, 10 февраля 2011
Кратность критической точки -гладкой функции — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.
Пусть — гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке Шаблон:/рамка В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки. СлучайВ этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Значение соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е. Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид Теорема деления
|