Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
||
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
||
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
||
Строка 52: | Строка 52: | ||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>\,f</math> задается набором <math>n</math> |
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>\,f</math> задается набором <math>n</math> функций <math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>. |
||
<math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>. |
|||
Введем следующие обозначения: |
Введем следующие обозначения: |
Версия от 11:23, 10 февраля 2011
Кратность критической точки -гладкой функции — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.
Пусть — -гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке Шаблон:/рамка В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки. СлучайВ этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Значение соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е. Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид Теорема деления
|