Двойственное пространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Сорахеку (обсуждение | вклад) м Дoбaвлeнa Категория:Топологические пространства функций с помощью HotCat |
Glovacki (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Сопряжённое пространство''' или '''двойственное пространство''' |
'''Сопряжённое пространство''' или '''двойственное пространство''' — пространство [[линейный функционал|линейных функционалов]] на данном линейном пространстве. |
||
== Линейно-сопряжённое пространство |
== Линейно-сопряжённое пространство — определение == |
||
Пространство всех линейных функционалов, определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. |
Пространство всех линейных функционалов, определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. |
||
==Свойства== |
== Свойства == |
||
*В конечномерном случае сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>: |
* В конечномерном случае сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>: |
||
*: любому базису <math>\{ e^i \}_{i=1}^n</math> из <math>E</math> можно поставить в соответствие т.н. ''двойственный базис'' <math>\{ e_i \}_{i=1}^n</math> из <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i\,</math> |
*: любому базису <math>\{ e^i \}_{i=1}^n</math> из <math>E</math> можно поставить в соответствие т. н. ''двойственный базис'' <math>\{ e_i \}_{i=1}^n</math> из <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i\,</math> — проектор на вектор <math style="vertical-align:-10%;">\,e^i</math>: |
||
*: <math> e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E</math> |
*: <math> e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E</math> |
||
* |
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>. |
||
* |
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>. |
||
*В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому <math>E^{**}</math>, совпадает с <math>E</math> (точнее, существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^{**}</math>). |
* В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому <math>E^{**}</math>, совпадает с <math>E</math> (точнее, существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^{**}</math>). |
||
==Обозначения== |
== Обозначения == |
||
В конечномерном случае обычно элементы пространства <math>E</math> обозначают вектором-столбцом, а элементы <math>E^*</math> |
В конечномерном случае обычно элементы пространства <math>E</math> обозначают вектором-столбцом, а элементы <math>E^*</math> — вектором-строкой {{Нет АИ|10|5|2011}}. В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'' индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'' индекс). |
||
==Вариации и обобщения== |
== Вариации и обобщения == |
||
*В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов. |
* В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов. |
||
*Термин ''сопряжённое пространство'' может иметь иное значение для линейных пространств над [[комплексное число|полем комплексных чисел]]: пространство |
* Термин ''сопряжённое пространство'' может иметь иное значение для линейных пространств над [[комплексное число|полем комплексных чисел]]: пространство <math>\bar E</math>, совпадающее с <math>E</math> как [[вещественное число|вещественное]] линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа: |
||
*:<math>{\bar c} {\bar x} = \overline{cx}</math> |
*: <math>{\bar c} {\bar x} = \overline{cx}</math> |
||
**При наличии в пространстве [[эрмитова метрика|эрмитовой метрики]] (например, в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают. |
** При наличии в пространстве [[эрмитова метрика|эрмитовой метрики]] (например, в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают. |
||
== Ссылки == |
|||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
||
Строка 31: | Строка 29: | ||
[[Категория:Теория операторов]] |
[[Категория:Теория операторов]] |
||
[[Категория:Топологические пространства функций]] |
[[Категория:Топологические пространства функций]] |
||
[[pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe]] |
Версия от 10:11, 24 марта 2016
Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
Линейно-сопряжённое пространство — определение
Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .
Свойства
- В конечномерном случае сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем :
- любому базису из можно поставить в соответствие т. н. двойственный базис из , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между и .
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
- В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому , совпадает с (точнее, существует канонический изоморфизм между и ).
Обозначения
В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 4749 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Вариации и обобщения
- В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|