Двойственное пространство: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 2: | Строка 2: | ||
== Определение == |
== Определение == |
||
Пространство всех |
Пространство всех непрерывных линейных функционалов, определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. |
||
В случае, когда пространство <math>E</math> конечномерное (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), все линейные функционалы являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^*</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае, когда пространство <math>E</math> бесконечномерное (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), условие непрерывности существенно. |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 19:04, 12 мая 2016
Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
Определение
Пространство всех непрерывных линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .
В случае, когда пространство конечномерное (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), все линейные функционалы являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае, когда пространство бесконечномерное (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), условие непрерывности существенно.
Свойства
Конечномерные пространства[1]
- Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
- Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
- Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
- Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
Обозначения
В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 4750 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Вариации и обобщения
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.