Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: , при этом параметр должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр .

Невырожденный спектр[править | править код]

В теории возмущений решение представляется в виде разложения

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

Подставляя разложение в это уравнение, получим

Собирая слагаемые одинакового порядка по , получим последовательности уравнений

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения и . Слагаемое с индексом  — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении k-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых и .

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация и является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что , но в то же время из нормировки точного решения следует . Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить . Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число действительно. Поэтому , и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

Так как невозмущённое состояние должно быть нормируемо, сразу следует

и из этого

Получаем поправку в первом порядке

и для поправки энергии во втором порядке

Литература[править | править код]

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X.