Теория возмущений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория возмущений — метод приближенного решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение. Физические величины, рассчитаные по теории возмущений, имеют вид ряда

A = A^{(0)} + \varepsilon A^{(1)} + \varepsilon^2 A^{(2)} + ...

где A^{(0)} — решение невозмущённой задачи, \varepsilon — малый параметр. Коэффициенты A^{(n)} находятся путём последовательных приближений, то есть A^{(n)} выражается через A^{(0)}, ... , A^{(n-1)}. Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

В небесной механике[править | править вики-текст]

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача N тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет к друг другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к N-1 независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учетом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, долгота перигелия и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты a_i) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

a_i(t) = a_i^{(0)} = {\rm const},

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

\frac{d a_i}{dt} = \varepsilon f_i(a_1, a_2, ... a_6, t) \qquad\qquad (*)

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

a_i(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon a_i^{(1)}(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon \int_0^t f_i(a_i^{(0)}, \tau) d\tau.

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике[править | править вики-текст]

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

H = H^{(0)} + V

где H^{(0)}невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а V — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений[править | править вики-текст]

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

H | \psi_n \rangle = E_n | \psi_n \rangle \qquad\qquad(**)

в виде разложения в ряд

\psi_n = \psi_n^{(0)} + \psi_n^{(1)} + \psi_n^{(2)} + ...
E_n = E_n^{(0)} + E_n^{(1)} + E_n^{(2)} + ...\qquad\qquad(***)

где \psi_n^{(0)} и E_n^{(0)} — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

H^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle,

а число n нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

(V - E_n^{(1)}) | \psi_n^{(0)} \rangle = (E_n^{(0)} - H^{(0)}) | \psi_n^{(1)} \rangle

Домножая слева на \psi_m^{(0)}, и учитывая, что \psi_m^{(0)} — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

E_n^{(1)} = V_{nn}
\psi_n^{(1)} = \sum_{m\neq n} \frac{V_{mn}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)},

где V_{mn} \equiv \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень E_n^{(0)} невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Нестационарная теория возмущений[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущенным решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры \alpha = 1/137). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по \alpha [1].

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться[2].

Примеры неприменимости теории возмущений[править | править вики-текст]

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

T_{inst} = A \exp (-1/g), где g — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке g = 0 , а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по g.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. E. de Rafael. Update of the Electron and Muon g-Factors // arXiv:1210.4705 [hep-ph]
  2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1981. — С. 210—212.

Литература[править | править вики-текст]